Найти косинус угла α между плоскостями (A1, A2,A3) и (A2, A3, A4)
24 Просмотров
Задание:
Найти косинус угла α между плоскостями (A1, A2,A3) и (A2, A3, A4)
A1 -7; 9; 5;
A2 7; 17; -9;
A3 -17; -5; 12;
A4 1; 3; 0;
Ответ на задание:
Для того чтобы найти косинус угла ( \alpha ) между плоскостями заданными векторами ( \mathbf{A_1}, \mathbf{A_2}, \mathbf{A_3} ) и ( \mathbf{A_2}, \mathbf{A_3}, \mathbf{A_4} ), мы можем использовать формулу косинуса угла между двумя векторами:
\cos(\alpha) = \frac{\mathbf{A_1} \cdot \mathbf{A_4}}{|\mathbf{A_1}| |\mathbf{A_4}|}
где ( \mathbf{A_1} \cdot \mathbf{A_4} ) – это скалярное произведение векторов ( \mathbf{A_1} ) и ( \mathbf{A_4} ), а ( |\mathbf{A_1}| ) и ( |\mathbf{A_4}| ) – это их длины.
Сначала найдем векторы ( \mathbf{A_1} ), ( \mathbf{A_2} ), ( \mathbf{A_3} ), и ( \mathbf{A_4} ):
( \mathbf{A_1} = \begin{pmatrix} -7 \ 9 \ 5 \end{pmatrix} )
( \mathbf{A_2} = \begin{pmatrix} 7 \ 17 \ -9 \end{pmatrix} )
( \mathbf{A_3} = \begin{pmatrix} -17 \ -5 \ 12 \end{pmatrix} )
( \mathbf{A_4} = \begin{pmatrix} 1 \ 3 \ 0 \end{pmatrix} )
Теперь вычислим скалярное произведение и длины этих векторов:
- Скалярное произведение:
\mathbf{A_1} \cdot \mathbf{A_4} = (-7 \times 1) + (9 \times 3) + (5 \times 0) = -7 + 27 + 0 = 20
- Длины векторов:
|\mathbf{A_1}| = \sqrt{(-7)^2 + 9^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 81 + 25} = \sqrt{155}
|\mathbf{A_4}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 9 + 0} = \sqrt{10}
Теперь подставим все значения в формулу для ( \cos(\alpha) ):
\cos(\alpha) = \frac{20}{\sqrt{155} \times \sqrt{10}} = \frac{20}{\sqrt{1550}} \approx \frac{20}{39.37} \approx 0.508
Таким образом, косинус угла ( \alpha ) между плоскостями равен примерно ( 0.508 ).