15 Просмотров

Задание:

Найти косинус угла α между плоскостями (A1, A2,A3) и (A2, A3, A4)

A1 -7; 9; 5;

A2 7; 17; -9;

A3 -17; -5; 12;

A4 1; 3; 0;

Ответ на задание:

Для того чтобы найти косинус угла (\( \alpha \)) между плоскостями заданными векторами ( ​\( \mathbf{A_1}, \mathbf{A_2}, \mathbf{A_3} \)​ ) и ( ​\( \mathbf{A_2}, \mathbf{A_3}, \mathbf{A_4} \)​ ), мы можем использовать формулу косинуса угла между двумя векторами:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\mathbf{A_1} \cdot \mathbf{A_4}}{|\mathbf{A_1}| |\mathbf{A_4}|} \]

где ( ​\( \mathbf{A_1} \cdot \mathbf{A_4} \)​ ) – это скалярное произведение векторов ( ​\( \mathbf{A_1} \)​ ) и ( ​\( \mathbf{A_4} \)​ ), а ( ​\( |\mathbf{A_1}| \)​ ) и (​\( |\mathbf{A_4}| \)​ ) – это их длины.

Сначала найдем векторы ( ​\( \mathbf{A_1} \)​ ), ( ​\( \mathbf{A_2} \)​ ), ( ​\( \mathbf{A_3} \)​ ), и ( ​\( \mathbf{A_4} \)​ ):

( ​\( \mathbf{A_1} = \begin{pmatrix} -7 \ 9 \ 5 \end{pmatrix} \)​ )

(​\( \mathbf{A_2} = \begin{pmatrix} 7 \ 17 \ -9 \end{pmatrix} \)​ )

( ​\( \mathbf{A_3} = \begin{pmatrix} -17 \ -5 \ 12 \end{pmatrix} \)​)

( ​\( \mathbf{A_4} = \begin{pmatrix} 1 \ 3 \ 0 \end{pmatrix} \)​ )

Теперь вычислим скалярное произведение и длины этих векторов:

1. Скалярное произведение:

\[ \mathbf{A_1} \cdot \mathbf{A_4} = (-7 \times 1) + (9 \times 3) + (5 \times 0) = -7 + 27 + 0 = 20 \]

2. Длины векторов:

\[ |\mathbf{A_1}| = \sqrt{(-7)^2 + 9^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 81 + 25} = \sqrt{155} \]

\[ |\mathbf{A_4}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 9 + 0} = \sqrt{10} \]

Теперь подставим все значения в формулу для ( ​\( \cos(\alpha) \)​ ):

\[ \cos(\alpha) = \frac{20}{\sqrt{155} \times \sqrt{10}} = \frac{20}{\sqrt{1550}} \approx \frac{20}{39.37} \approx 0.508 \]

Таким образом, косинус угла ( ​\( \alpha \)​ ) между плоскостями равен примерно ( 0.508 ).