24 Просмотров

Задание:

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 15 и CD = 18 вписан в окружность. Диагонали этого четырёхугольника пересекаются в точке Q, причём ∠AQB=60°. Найдите радиус окружности, описанной вокруг четырёхугольника ABCD.

Ответ на задание:

Обозначим через O центр описанной окружности, а через R её радиус. Также пусть M и N — середины диагоналей AC и BD соответственно.

Так как ABCD — вписанный четырёхугольник, то диагонали пересекаются в точке Q, и угол между диагоналями равен 60°. Это означает, что четырёхугольник ABCD является вписанным в окружность с центром O, и угол между хордой AB и диаметром AC равен 60°.

Теперь обратим внимание на треугольник AOB. Угол AOB — это угол, заключённый между хордой AB и диаметром AC, и он равен удвоенному углу между AB и AC (так как центр O лежит на диаметре AC). Таким образом, (​\( \angle AOB = 2 \cdot \angle AQB = 2 \cdot 60° = 120° \)​).

Теперь рассмотрим треугольник AOM. Угол AOM — это угол, заключённый между хордой AB и диаметром AC, но делённый пополам. Таким образом, (​\( \angle AOM = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60° \)​).

Так как AM — это радиус описанной окружности, то у нас есть прямоугольный треугольник AOM, в котором известны угол (​\( \angle AOM \)​) и гипотенуза AM. Мы можем использовать тригонометрическую функцию косинуса:

\[ \cos(\angle AOM) = \frac{OM}{AM} \]

\[ \cos(60°) = \frac{R}{\frac{1}{2} \cdot AB} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{R}{\frac{1}{2} \cdot 15} \]

\[ R = \frac{15}{2} \]

Таким образом, радиус описанной окружности равен ( ​\( \frac{15}{2} \)​ ).