184 Просмотров

Задание:

Чему равно изменение длины системы, состоящей из двух последовательно соединенных пружин, жесткости которых 48000Н/м и 27000Н/м, если к нижнему концу этой системы подвешен бетонный диск объемом 16 л, а верхний ее конец закреплен к подвесу?

Ответ на задание:

Для нахождения изменения длины системы из двух последовательно соединенных пружин при подвешивании бетонного диска, можно воспользоваться законом Гука для пружин. Закон Гука формулируется следующим образом:

\[ F = k \cdot \Delta L \]

где:

• ( F ) – сила, действующая на пружину,
• ( k ) – коэффициент жесткости пружины,
• ( ​\( \Delta L \)​ ) – изменение длины пружины.

Сначала найдем силу, которая действует на систему из-за подвешенного бетонного диска. Масса бетонного диска ( m ) можно найти, используя плотность ( ​\( \rho \)​ ) и объем ( V ):

\[ m = \rho \cdot V \]

Ускорение свободного падения ( g ) принимаем равным приблизительно 9.8 м/с².

Сила, действующая на систему, равна весу бетонного диска:

\[ F = m \cdot g \]

Теперь мы можем использовать закон Гука для каждой из пружин:

1. Для пружины с жесткостью 48000 Н/м: ​\( F_1 = k_1 \cdot \Delta L_1 \)​

2. Для пружины с жесткостью 27000 Н/м: ​\( F_2 = k_2 \cdot \Delta L_2 \)​

Суммарная сила на систему равна силе, действующей от бетонного диска:

\[ F_1 + F_2 = m \cdot g \]

Таким образом, изменение длины системы будет суммой изменений длин каждой из пружин:

\[ \Delta L_1 + \Delta L_2 = \frac{F_1}{k_1} + \frac{F_2}{k_2} \]

1. Найдем массу бетонного диска: ​\( m = \rho \cdot V \)​

Объем ( V ) бетонного диска равен 16 литрам, что можно перевести в кубические метры:

\[ V = 0.016 , \text{м}^3 \]

Плотность бетона ( ​\( \rho \)​ ) приблизительно равна 2400 кг/м³: ​\( \rho = 2400 , \text{кг/м}^3 \)​

Теперь можем найти массу ( m ): ​\( m = \rho \cdot V \)​

\[ m = 2400 , \text{кг/м}^3 \cdot 0.016 , \text{м}^3 \]

\[ m = 38.4 , \text{кг} \]

2. Теперь найдем силу, действующую на систему:

   \[ F = m \cdot g \]

\[ F = 38.4 , \text{кг} \cdot 9.8 , \text{м/с}^2 \]

\[ F \approx 376.32 , \text{Н} \]

3. Теперь используем закон Гука для каждой пружины:

   \[ F_1 = k_1 \cdot \Delta L_1 \]

   \[ F_2 = k_2 \cdot \Delta L_2 \]

4. Используем уравнение суммарной силы:

   \[ F_1 + F_2 = m \cdot g \]

5. Выразим изменения длин пружин:

   \[ \Delta L_1 = \frac{F_1}{k_1} \]

   \[ \Delta L_2 = \frac{F_2}{k_2} \]

6. Суммируем изменения длин:

   \[ \Delta L = \Delta L_1 + \Delta L_2 \]

Известно, что жесткость первой пружины (​\( k_1 = 48000 , \text{Н/м} \)​ ), а жесткость второй пружины ( ​\( k_2 = 27000 , \text{Н/м} \)​ ).

Используем выражения для изменения длин пружин:

\[ \Delta L_1 = \frac{F_1}{k_1} \]

\[ \Delta L_2 = \frac{F_2}{k_2} \]

Затем найдем суммарную силу и выразим изменение длины системы:

\[ F_1 + F_2 = m \cdot g \]

\[ \Delta L = \Delta L_1 + \Delta L_2 \]

Теперь подставим известные значения:

\[ \Delta L_1 = \frac{F_1}{k_1} = \frac{376.32 , \text{Н}}{48000 , \text{Н/м}} \approx 0.00785 , \text{м} \]

\[ \Delta L_2 = \frac{F_2}{k_2} = \frac{376.32 , \text{Н}}{27000 , \text{Н/м}} \approx 0.01393 , \text{м} \]

Теперь сложим изменения длин:

\[ \Delta L = \Delta L_1 + \Delta L_2 \]

\[ \Delta L = 0.00785 , \text{м} + 0.01393 , \text{м} \]

\[ \Delta L \approx 0.02178 , \text{м} \]

Итак, изменение длины системы, состоящей из двух пружин, при подвешивании бетонного диска объемом 16 л, равно приблизительно ( ​\( 0.02178 , \text{м} \)​ ).