Чему равно изменение длины системы, состоящей из двух последовательно соединенных пружин
47 Просмотров
Задание:
Чему равно изменение длины системы, состоящей из двух последовательно соединенных пружин, жесткости которых 48000Н/м и 27000Н/м, если к нижнему концу этой системы подвешен бетонный диск объемом 16 л, а верхний ее конец закреплен к подвесу?
Ответ на задание:
Для нахождения изменения длины системы из двух последовательно соединенных пружин при подвешивании бетонного диска, можно воспользоваться законом Гука для пружин. Закон Гука формулируется следующим образом:
\[ F = k \cdot \Delta L \]
где:
- ( F ) – сила, действующая на пружину,
- ( k ) – коэффициент жесткости пружины,
- ( \( \Delta L \) ) – изменение длины пружины.
Сначала найдем силу, которая действует на систему из-за подвешенного бетонного диска. Масса бетонного диска ( m ) можно найти, используя плотность ( \( \rho \) ) и объем ( V ):
\[ m = \rho \cdot V \]
Ускорение свободного падения ( g ) принимаем равным приблизительно 9.8 м/с².
Сила, действующая на систему, равна весу бетонного диска:
\[ F = m \cdot g \]
Теперь мы можем использовать закон Гука для каждой из пружин:
-
Для пружины с жесткостью 48000 Н/м: \( F_1 = k_1 \cdot \Delta L_1 \)
-
Для пружины с жесткостью 27000 Н/м: \( F_2 = k_2 \cdot \Delta L_2 \)
Суммарная сила на систему равна силе, действующей от бетонного диска:
\[ F_1 + F_2 = m \cdot g \]
Таким образом, изменение длины системы будет суммой изменений длин каждой из пружин:
\[ \Delta L_1 + \Delta L_2 = \frac{F_1}{k_1} + \frac{F_2}{k_2} \]
- Найдем массу бетонного диска: \( m = \rho \cdot V \)
Объем ( V ) бетонного диска равен 16 литрам, что можно перевести в кубические метры:
\[ V = 0.016 , \text{м}^3 \]
Плотность бетона ( \( \rho \) ) приблизительно равна 2400 кг/м³: \( \rho = 2400 , \text{кг/м}^3 \)
Теперь можем найти массу ( m ): \( m = \rho \cdot V \)
\[ m = 2400 , \text{кг/м}^3 \cdot 0.016 , \text{м}^3 \]
\[ m = 38.4 , \text{кг} \]
- Теперь найдем силу, действующую на систему:
\[ F = m \cdot g \]
\[ F = 38.4 , \text{кг} \cdot 9.8 , \text{м/с}^2 \]
\[ F \approx 376.32 , \text{Н} \]
-
Теперь используем закон Гука для каждой пружины:
\[ F_1 = k_1 \cdot \Delta L_1 \]
\[ F_2 = k_2 \cdot \Delta L_2 \]
-
Используем уравнение суммарной силы:
\[ F_1 + F_2 = m \cdot g \]
-
Выразим изменения длин пружин:
\[ \Delta L_1 = \frac{F_1}{k_1} \]
\[ \Delta L_2 = \frac{F_2}{k_2} \]
-
Суммируем изменения длин:
\[ \Delta L = \Delta L_1 + \Delta L_2 \]
Известно, что жесткость первой пружины (\( k_1 = 48000 , \text{Н/м} \) ), а жесткость второй пружины ( \( k_2 = 27000 , \text{Н/м} \) ).
Используем выражения для изменения длин пружин:
\[ \Delta L_1 = \frac{F_1}{k_1} \]
\[ \Delta L_2 = \frac{F_2}{k_2} \]
Затем найдем суммарную силу и выразим изменение длины системы:
\[ F_1 + F_2 = m \cdot g \]
\[ \Delta L = \Delta L_1 + \Delta L_2 \]
Теперь подставим известные значения:
\[ \Delta L_1 = \frac{F_1}{k_1} = \frac{376.32 , \text{Н}}{48000 , \text{Н/м}} \approx 0.00785 , \text{м} \]
\[ \Delta L_2 = \frac{F_2}{k_2} = \frac{376.32 , \text{Н}}{27000 , \text{Н/м}} \approx 0.01393 , \text{м} \]
Теперь сложим изменения длин:
\[ \Delta L = \Delta L_1 + \Delta L_2 \]
\[ \Delta L = 0.00785 , \text{м} + 0.01393 , \text{м} \]
\[ \Delta L \approx 0.02178 , \text{м} \]
Итак, изменение длины системы, состоящей из двух пружин, при подвешивании бетонного диска объемом 16 л, равно приблизительно ( \( 0.02178 , \text{м} \) ).