15 Просмотров

Задание:

Упростите выражение:
a)​\( \frac{{1 – \cos(2\alpha)}}{{\sin(2\alpha)}} \)​
б)​\( \frac{{\sin(2\alpha) + \sin(\alpha)}}{{1 + \cos(2\alpha) + \cos(\alpha)}} \)​

Ответ на задание:

Давайте начнем с упрощения данных выражений:

a) (​\( \frac{{1 – \cos(2\alpha)}}{{\sin(2\alpha)}} \)​)

Мы можем воспользоваться тригонометрическими формулами для косинуса удвоенного угла: (​\( \cos(2\alpha) = 1 – 2\sin^2(\alpha) \)​) и формулой для синуса удвоенного угла: (​\( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \)​).

(

\[ \frac{{1 – \cos(2\alpha)}}{{\sin(2\alpha)}} = \frac{{1 – (1 – 2\sin^2(\alpha))}}{{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}} = \frac{{2\sin^2(\alpha)}}{{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}} = \frac{{\sin(\alpha)}}{{\cos(\alpha)}} = \tan(\alpha) \]

)

Ответ для a) равен (​\( \tan(\alpha) \)​).

b) (​\( \frac{{\sin(2\alpha) + \sin(\alpha)}}{{1 + \cos(2\alpha) + \cos(\alpha)}} \)​)

Также используем тригонометрические формулы для синуса и косинуса удвоенного угла, а также суммы косинусов и синусов:

(​\( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)) и (\cos(2\alpha) = 1 – 2\sin^2(\alpha) \)​)

(

\[ \frac{{\sin(2\alpha) + \sin(\alpha)}}{{1 + \cos(2\alpha) + \cos(\alpha)}} = \frac{{2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + \sin(\alpha)}}{{1 + (1 – 2\sin^2(\alpha)) + \cos(\alpha)}} = \frac{{2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + \sin(\alpha)}}{{2 – 2\sin^2(\alpha) + \cos(\alpha)}} \]

)

Теперь заметим, что (​\( 2 – 2\sin^2(\alpha) = 2(1 – \sin^2(\alpha)) = 2\cos^2(\alpha) \)​), используя тригонометрическое тождество (​\( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \)​).

(

\[ \frac{{2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + \sin(\alpha)}}{{2\cos^2(\alpha) + \cos(\alpha)}} = \frac{{\sin(\alpha)(2\cos(\alpha) + 1)}}{{\cos(\alpha)(2\cos(\alpha) + 1)}} = \frac{{\sin(\alpha)}}{{\cos(\alpha)}} = \tan(\alpha) \]

)

Ответ для b) также равен (​\( \tan(\alpha) \)​).