5 Просмотров

Задание:

Треугольник АВС- прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 6 см является основанием пирамиды ABCD, а CD – её высотой. Перпендикуляр к AB – это отрезок DK=5 см. Найдите объём и площадь полной поверхности пирамиды.

Ответ на задание:

1. Дано:

• Треугольник ABC – прямоугольный и равнобедренный с прямым углом C;
• AB = 6 см (гипотенуза);
• CD = h – высота пирамиды;
• DK = 5 см.

2. Найти:

• V – объем пирамиды;
• S – площадь полной поверхности пирамиды.

3. Решение:

3.1. Вычисление AC:

AC = AB / 2 = 6 см / 2 = 3 см.

3.2. Вычисление AD:

В прямоугольном треугольнике ACD по теореме Пифагора:

AD² = AC² + CD² = 3² cm² + h² cm²

3.3. Вычисление площади основания:

S_осн = 1/2 * AC * AB = 1/2 * 3 cm * 6 cm = 9 cm².

3.4. Вычисление AD:

Из треугольника ADK по теореме Пифагора:

AD² = AK² + DK² = (AD – CD)² + 5² cm²

3.5. Приравнивание уравнений:

(AD – CD)² + 5² cm² = 3² cm² + h² cm²

3.6. Раскрытие скобок и упрощение:

AD² – 2 * AD * CD + CD² + 25 cm² = 9 cm² + h² cm²

AD² – 2 * AD * h + h² cm² = 4 cm² + h² cm²

3.7. Объединение членов:

-2 * AD * h = 4 cm²

3.8. Выражение AD через h:

AD = 4 cm² / (-2 * h) = -2 cm² / h

3.9. Вычисление площади боковой грани:

S_бок = 1/2 * AC * AD = 1/2 * 3 cm * (-2 cm² / h) = -3 cm² / h

3.10. Вычисление площади полной поверхности:

S_полн = S_осн + 4 * S_бок = 9 cm² + 4 * (-3 cm² / h)

S_полн = 9 cm² – 12 cm² / h

3.11. Вычисление объема:

V = 1/3 * S_осн * h = 1/3 * 9 cm² * h = 3 cm² * h

4. Ответ:

• V = 3 cm² * h (объем пирамиды);
• S_полн = 9 cm² – 12 cm² / h (площадь полной поверхности пирамиды).