Треугольники MNK и PQT равны. Известно что угол M равен углу P

152 Просмотров

Задание:

Треугольники MNK и PQT равны. Известно что угол M равен углу P, углу N=∠Q, ∠T=39°, QT=31. Найди ∠K и NK. Ответ запишите в градусах.

Ответ на задание:

Дано:

Треугольники ( \( \triangle MNK \) ) и ( \( \triangle PQT \) ) равны.
( \( \angle M = \angle P \) )
( \( \angle N = \angle Q \) )
( \( \angle T = 39^\circ \) )
( \( QT = 31 \) )

Так как треугольники равны, то соответствующие стороны и углы равны.

Из условия:

\[ \angle M = \angle P \]

Известно также, что ( \( \angle T = 39^\circ \) ), а значит, ( \( \angle K = \angle Q \) ), так как углы смежные. Теперь у нас есть равенство углов в треугольниках:

\[ \angle K = \angle Q \]

\[ \angle N = \angle Q \]

Таким образом, в треугольнике ( \( \triangle PQT \) ) у нас есть два угла, равных ( \( \angle K \) ) и ( \( \angle N \) ), что означает, что треугольник ( \( \triangle PQT \) ) равнобедренный, и стороны ( PT ) и ( QT ) равны.

Теперь у нас есть ( QT = 31 ), и мы знаем, что (\( \angle T = 39^\circ \)). Так как треугольник ( \( \triangle PQT \) ) равнобедренный, то ( \( \angle Q = \angle K \) ). Таким образом:

\[ \angle K = \angle Q = \frac{180^\circ – \angle T}{2} \]

\[ \angle K = \frac{180^\circ – 39^\circ}{2} \]

\[ \angle K = \frac{141^\circ}{2} \]

\[ \angle K = 70.5^\circ \]

Теперь мы можем найти ( NK ). В треугольнике ( \( \triangle PQT \) ) по теореме косинусов:

\[ \cos(\angle K) = \frac{QT}{PT} \]

\[ \cos(70.5^\circ) = \frac{31}{PT} \]

Отсюда можно найти ( PT ):

\[ PT = \frac{31}{\cos(70.5^\circ)} \]

Теперь мы можем найти ( NK ), так как ( NK = PT ): \( NK = PT \)

Теперь найдем численное значение для ( PT ) и ( NK ):

\[ PT \approx \frac{31}{\cos(70.5^\circ)} \]