32 Просмотров

Задание:

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 70 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения реки, если скорость теплохода в неподвижно воде равна 18 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 12 часов после отплытия из него.\

Ответ на задание:

Обозначим скорость течения реки как ( ​\( v_r \)​ ).

Теплоход движется по течению реки со скоростью течения ( ​\( v_{\text{теплохода}} + v_r \)​ ) и возвращается против течения реки со скоростью ( ​\( v_{\text{теплохода}} – v_r \)​), где ( ​\( v_{\text{теплохода}} \)​) – скорость теплохода в неподвижной воде.

Теплоход проходит 70 км по течению и 70 км против течения за разное время. Разность времени движения составляет 12 часов (возвращается через 12 часов после отплытия).

Используем формулу расстояния: ( ​\( \text{расстояние} = \text{скорость} \times \text{время} \)​ ).

Поэтому для движения по течению: ( ​\( 70 = (18 + v_r) \times t_1 \)​ ), где ( ​\( t_1 \)​ ) – время движения по течению.

Для движения против течения: ( ​\( 70 = (18 – v_r) \times t_2 \)​ ), где ( ​\( t_2 \)​ ) – время движения против течения.

Также, по условию, ( ​\( t_1 – t_2 = 12 \)​ ) часов.

Решим эту систему уравнений:

Из первого уравнения выразим ( ​\( t_1 \)​ ):

\[ t_1 = \frac{70}{18 + v_r} \]

Из второго уравнения выразим ( ​\( t_2 \)​ ):

\[ t_2 = \frac{70}{18 – v_r} \]

Теперь используем условие ( ​\( t_1 – t_2 = 12 \)​ ) часов:

\[ \frac{70}{18 + v_r} – \frac{70}{18 – v_r} = 12 \]

Чтобы решить это уравнение, выполним дальнейшие математические шаги:

\[ \frac{70(18 – v_r) – 70(18 + v_r)}{(18 + v_r)(18 – v_r)} = 12 \]

\[ \frac{70 * 18 – 70v_r – 70 * 18 – 70v_r}{(18 + v_r)(18 – v_r)} = 12 \]

\[ \frac{-140v_r}{(18 + v_r)(18 – v_r)} = 12 \]

\[ -140v_r = 12(18^2 – v_r^2) \]

\[ -140v_r = 12 * 324 – 12v_r^2 \]

\[ 12v_r^2 – 140v_r – 12 * 324 = 0 \]

\[ v_r^2 – \frac{140}{12}v_r – 27 = 0 \]

\[ v_r^2 – \frac{35}{3}v_r – 27 = 0 \]

\[ v_r^2 – \frac{35}{3}v_r = 27 \]

Завершим квадратное уравнение, используя формулу для решения квадратного уравнения ( ​\( ax^2 + bx + c = 0 \)​ ):

​\( v_r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)​

Где ( a = 1 ), ( ​\( b = -\frac{35}{3} \)​ ) и ( c = -27 ):

​\( v_r = \frac{\frac{35}{3} \pm \sqrt{\left(\frac{35}{3}\right)^2 – 4(1)(-27)}}{2(1)} \)​

​\( v_r = \frac{\frac{35}{3} \pm \sqrt{\frac{1225}{9} + 108}}{2} \)​

\[ v_r = \frac{\frac{35}{3} \pm \sqrt{\frac{1225}{9} + \frac{972}{9}}}{2} \]

\[ v_r = \frac{\frac{35}{3} \pm \sqrt{\frac{2197}{9}}}{2} \]

\[ v_r = \frac{\frac{35}{3} \pm \frac{47}{3}}{2} \]

Таким образом, получаем два возможных значения ( ​\( v_r \)​ ):

\[ v_r = \frac{35 + 47}{6} = \frac{82}{6} = 13.67 \text{ км/ч} \]

или

\[ v_r = \frac{35 – 47}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \text{ км/ч} \]

Так как скорость течения не может быть отрицательной, то скорость течения реки равна приблизительно 13.67 км/ч.