35 Просмотров

Задание:

Студент пришел на экзамен, выучив всего 10 вопросов из 20. Студенту задают два случайно выбранных вопроса. Найти вероятность того, что он ответит: а) на оба вопроса; б) только на один вопрос; в) хотя бы на один вопрос.

Ответ на задание:

Пусть событие (A) состоит из правильного ответа на первый вопрос, а событие (B) – из правильного ответа на второй вопрос.

Дано, что студент знает только 10 из 20 вопросов. Вероятность того, что студент ответит правильно на один вопрос из 10, равна (​\( \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \)​).

а) Вероятность ответить правильно на оба вопроса:

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

б) Вероятность ответить правильно только на один вопрос:

\[ P(\text{только один из двух}) = P(A \cap \neg B) + P(\neg A \cap B \]

\[ = P(A) \times (1 – P(B)) + (1 – P(A)) \times P(B) \]

\[ = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \]

в) Вероятность ответить хотя бы на один вопрос:

\[ P(\text{хотя бы один из двух}) = 1 – P(\text{ни один из двух}) \]

\[ = 1 – P(\neg A \cap \neg B) \]

\[ = 1 – (1 – P(A))(1 – P(B)) \]

\[ = 1 – \left(1 – \frac{1}{2}\right)\left(1 – \frac{1}{2}\right) \]

\[ = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

Таким образом, вероятность ответить: а) на оба вопроса – (​\( \frac{1}{4} \)​); б) только на один вопрос – (​\( \frac{1}{2} \)​); в) хотя бы на один вопрос – (​\( \frac{3}{4} \)​).