8 Просмотров

Задание:

Решить уравнение вида: 15x²+y²-8xy+8x-2y+38=0

Ответ на задание:

Данное уравнение (15x^2 + y^2 – 8xy + 8x – 2y + 38 = 0) представляет собой квадратное уравнение относительно переменной (x). Чтобы найти решение, можно воспользоваться методом завершения квадрата.

1. Выделение полного квадрата: Рассмотрим части уравнения, содержащие переменные (x) и (y):

   \[ 15x^2 – 8xy + 8x + y^2 – 2y + 38 = 0 \]

2. Выделение квадрата полинома: Группируем члены, содержащие переменную (x) и (y):

   \[ \left(15x^2 + 8x\right) – 8xy + \left(y^2 – 2y\right) + 38 = 0 \]

   Теперь добавим и вычтем необходимые константы, чтобы получить полные квадраты:

   \[ \left(15x^2 + 8x + 4\right) – 4 – 8xy + \left(y^2 – 2y + 1\right) + 37 = 0 \]

   Перепишем уравнение с выделенными полными квадратами:

   \[ (15x^2 + 8x + 4) + (y^2 – 2y + 1) – 4 – 8xy + 37 = 0 \]

3. Сокращение квадратов:

   \[ (15x + 2)^2 + (y – 1)^2 – 4 – 8xy + 37 = 0 \]

4. Приведение уравнения к стандартному виду:

   \[ (15x + 2)^2 + (y – 1)^2 = 4 + 8xy – 37 \]

   \[ (15x + 2)^2 + (y – 1)^2 = 8xy – 33 \]

5. Получение уравнения второй степени:

   \[ (15x + 2)^2 + (y – 1)^2 – 8xy + 33 = 0 \]

Давайте продолжим решение уравнения:

\[ (15x + 2)^2 + (y – 1)^2 – 8xy + 33 = 0 \]

Для нахождения решений, давайте рассмотрим уравнение как квадратное относительно переменной (x):

\[ (15x + 2)^2 – 8xy + (y – 1)^2 + 33 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида (​\( ax^2 + bx + c = 0 \)​), где:

\[ a = 1, \quad b = -(8y – 2), \quad c = (y – 1)^2 + 33 \]

Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле (​\( D = b^2 – 4ac \)​). Если (D > 0), у уравнения есть два действительных корня, если (D = 0), есть один корень, и если (D < 0), корней нет.

\[ D = [-(8y – 2)]^2 – 4 \cdot 1 \cdot [(y – 1)^2 + 33] \]

\[ D = (8y – 2)^2 – 4[(y – 1)^2 + 33] \]

Теперь, если (D > 0), мы можем найти значения (x). Если (D = 0), у нас будет одно решение, и если (D < 0), у нас не будет действительных корней.

Продолжим вычисления дискриминанта (D):

\[ D = (8y – 2)^2 – 4[(y – 1)^2 + 33] \]

Раскроем скобки:

\[ D = 64y^2 – 32y + 4 – 4[y^2 – 2y + 1 + 33] \]

Упростим выражение:

\[ D = 64y^2 – 32y + 4 – 4y^2 + 8y – 4 – 132 \]

\[ D = 60y^2 – 24y – 132 \]

Теперь, с учетом значения дискриминанта (D), мы можем рассмотреть случаи:

1. Если (D > 0), то у уравнения есть два действительных корня.
2. Если (D = 0), то у уравнения есть один корень.
3. Если (D < 0), то у уравнения нет действительных корней.

1. Рассмотрим случай (D > 0)

У нас есть уравнение:

\[ 5y^2 – 2y – 11 = 0 \]

Рассчитаем дискриминант:

\[ D’ = (-2)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-11) = 4 + 220 = 224 \]

Теперь используем формулу квадратного уравнения:

\[ y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{224}}{2 \cdot 5} \]

\[ y = \frac{2 \pm 4\sqrt{14}}{10} \]

Таким образом, получаем два значения (y):

\[ y_1 = \frac{2 + 4\sqrt{14}}{10} = \frac{1 + 2\sqrt{14}}{5} \]

\[ y_2 = \frac{2 – 4\sqrt{14}}{10} = \frac{1 – 2\sqrt{14}}{5} \]

2. Рассмотрим случай (D = 0)

Для (D = 0), решим уравнение

\[ 60y^2 – 24y – 132 = 0 \]

Сначала найдем значение дискриминанта:

\[ D = b^2 – 4ac \]

\[ D = (-24)^2 – 4 \cdot 60 \cdot (-132) \]

\[ D = 576 – (-31680) \]

\[ D = 576 + 31680 \]

\[ D = 32256 \]

Теперь, если (D = 0), то используем формулу для нахождения корней:

\[ y = \frac{-b}{2a} \]

\[ y = \frac{24}{2 \cdot 60} \]

\[ y = \frac{24}{120} \]

\[ y = \frac{1}{5} \]

Таким образом, получаем значение (\( y = \frac{1}{5} \)) для случая (D = 0).

3. Рассмотрим случай (D < 0)

Если (D < 0), то у уравнения нет действительных корней для переменной (x). В данном случае, поскольку (D) является положительным, у нас есть два значения (y) для случая (D > 0) и одно значение (y) для случая (D = 0).

Таким образом, решения уравнения (​\( 15x^2 + y^2 – 8xy + 8x – 2y + 38 = 0 \)​) состоят из двух частей:

1. Случай (D > 0):

   \[ y_1 = \frac{1 + 2\sqrt{14}}{5} \]

   \[ y_2 = \frac{1 – 2\sqrt{14}}{5} \]

2. Случай (D = 0):

   \[ y = \frac{1}{5} \]

Теперь мы имеем значения (y). Если вам нужны значения (x), мы можем использовать исходное уравнение для решения.

Теперь подставим значения (y) в исходное уравнение для переменной (x):

\[ (15x + 2)^2 + \left(\frac{1 + 2\sqrt{14}}{5} – 1\right)^2 – 8x\left(\frac{1 + 2\sqrt{14}}{5}\right) + 33 = 0 \]

\[ (15x + 2)^2 + \left(\frac{1 – 2\sqrt{14}}{5} – 1\right)^2 – 8x\left(\frac{1 – 2\sqrt{14}}{5}\right) + 33 = 0 \]

\[ (15x + 2)^2 + \left(\frac{1}{5} – 1\right)^2 – 8x\left(\frac{1}{5}\right) + 33 = 0 \]