17 Просмотров

Задание:

Решить треугольник(найти все его неизвестные элементы) а=15, b=10, c=12

Ответ на задание:

Для решения треугольника с известными сторонами (a = 15), (b = 10) и (c = 12), можно воспользоваться формулами для треугольников. Обозначим углы через (A), (B) и (C), а стороны противолежащие этим углам через (a), (b) и (c) соответственно.

1. Найти углы:

   • Используем закон косинусов для нахождения угла (A): ​\( \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \)​
   • Аналогично находим углы (B) и (C).

2. Найти высоты:

   • Используем формулу (​\( h_a = b \cdot \sin(A) \)​) для нахождения высоты, проведенной к стороне (a).
   • Аналогично находим высоты (​\( h_b \)​) и (​\( h_c \)​).

3. Найти площадь:

   • Используем формулу (​\( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \)​) для нахождения площади треугольника.

4. Найти радиус вписанной окружности:

   • Используем формулу радиуса вписанной окружности (​\( r = \frac{S}{p} \)​), где (p) – полупериметр треугольника (​\( (p = \frac{a + b + c}{2}) \)​).

5. Найти радиус описанной окружности:

   • Используем формулу радиуса описанной окружности (​\( R = \frac{abc}{4S} \)​).

Итак, начнем с вычисления углов:

\[ \cos(A) = \frac{10^2 + 12^2 – 15^2}{2 \cdot 10 \cdot 12} \ \cos(B) = \frac{15^2 + 12^2 – 10^2}{2 \cdot 15 \cdot 12} \ \cos(C) = \frac{10^2 + 15^2 – 12^2}{2 \cdot 10 \cdot 15} \]

Итак, начнем с вычисления углов:

\[ \cos(A) = \frac{10^2 + 12^2 – 15^2}{2 \cdot 10 \cdot 12} = -\frac{1}{8} \]

\[ \cos(B) = \frac{15^2 + 12^2 – 10^2}{2 \cdot 15 \cdot 12} = \frac{3}{4} \]

\[ \cos(C) = \frac{10^2 + 15^2 – 12^2}{2 \cdot 10 \cdot 15} = \frac{7}{8} \]

Теперь, используя обратные тригонометрические функции, найдем значения углов (A), (B) и (C):

\[ A = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{8}\right) \approx 99.47^\circ \]

\[ B = \cos^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \approx 41.41^\circ \]

\[ C = \cos^{-1}\left(\frac{7}{8}\right) \approx 39.12^\circ \]

Теперь рассчитаем высоты:

\[ h_a = b \cdot \sin(A) = 10 \cdot \sin(99.47^\circ) \]

\[ h_b = c \cdot \sin(B) = 12 \cdot \sin(41.41^\circ) \]

\[ h_c = a \cdot \sin(C) = 15 \cdot \sin(39.12^\circ) \]

Следующим шагом можно вычислить площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \]

Теперь, вычислим радиус вписанной и описанной окружностей:

\[ p = \frac{a + b + c}{2} \]

\[ r = \frac{S}{p} \]

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

Итак, продолжим с вычислением конкретных значений:

1. Высоты:

   • (​\( h_a = 10 \cdot \sin(99.47^\circ) \approx 9.90 \)​)
   • (​\( h_b = 12 \cdot \sin(41.41^\circ) \approx 7.86 \)​)
   • (​\( h_c = 15 \cdot \sin(39.12^\circ) \approx 9.08 \)​)

2. Площадь:

   • (​\( S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 9.90 \approx 74.25 \)​)

3. Радиус вписанной окружности:

   • (​\( p = \frac{15 + 10 + 12}{2} = 18.5 \)​)
   • (​\( r = \frac{74.25}{18.5} \approx 4.01 \)​)

4. Радиус описанной окружности:

   • (​\( R = \frac{15 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 74.25} \approx 6.07 \)​)

Таким образом, получены значения для высот, площади, радиуса вписанной и описанной окружностей.