17 Просмотров

Задание:

Решить систему уравнений

\( \begin{cases} x-5y=8 & \quad \\ 2x+4y=30 & \quad \end{cases} \)

Ответ на задание:

Данная система уравнений может быть решена несколькими способами. Рассмотрим два наиболее распространенных:

Способ 1: Метод подстановки

1. Выразим одну переменную из одного уравнения: Из первого уравнения выразим x:

   x = 8 + 5y
   

2. Подставим полученное выражение в другое уравнение: Подставим x в второе уравнение:

   2(8 + 5y) + 4y = 30
   

3. Решим полученное уравнение:

   16 + 10y + 4y = 30
   14y = 14
   y = 1
   

4. Найдем значение второй переменной: Подставим найденное y в выражение для x:

   x = 8 + 5 * 1
   x = 13
   

Способ 2: Метод сложения/вычитания

1. Умножим уравнения так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными: Умножим первое уравнение на 2:

   2(x - 5y) = 2 * 8
   2x - 10y = 16
   

2. Сложим полученные уравнения:

   (2x - 10y) + (2x + 4y) = 16 + 30
   4x - 6y = 46
   

3. Решим полученное уравнение:

   2x - 3y = 23
   

   Теперь нам нужно выразить одну из переменных и подставить в другое уравнение. Выберем первое исходное уравнение:

   x = 8 + 5y
   

   Подставим x:

   2(8 + 5y) - 3y = 23
   16 + 10y - 3y = 23
   7y = 7
   y = 1
   

4. Найдем значение второй переменной: Подставим найденное y в выражение для x:

   x = 8 + 5 * 1
   x = 13
   

Ответ: Решением системы уравнений является пара чисел (x, y) = (13, 1).

Проверка: Подставим найденные значения x и y в исходные уравнения:

• 13 – 5 * 1 = 8
• 2 * 13 + 4 * 1 = 30

Видим, что оба уравнения удовлетворяются.

Таким образом, мы получили единственное решение системы уравнений.

Какой из способов выбрать?

• Метод подстановки обычно проще, если в одном из уравнений можно легко выразить одну переменную через другую.
• Метод сложения/вычитания удобен, если коэффициенты при одной из переменных в уравнениях уже противоположны или легко могут быть сделаны таковыми.

Выбор метода зависит от конкретной системы уравнений и ваших личных предпочтений.