6 Просмотров

Задание:

Решить по действиям логарифмы:

a. log2(2x-1)-2=log2(x+2)-log2(x+1)

b. log2(3x+1)*log3x=2log2(3x+1)

Ответ на задание:

a. Решение уравнения

\[ log₂(2x-1) – 2 = log₂(x+2) – log₂(x+1) \]

:

1. Объединение логарифмов:

   \[ \log₂(2x-1) – 2 = \log₂\left(\frac{x+2}{x+1}\right) \]

2. Применение свойства логарифмов:

   \[ \log₂\left(\frac{2x-1}{2^2}\right) = \log₂\left(\frac{x+2}{x+1}\right) \]

3. Упрощение:

   \[ \log₂(2x-1) = \log₂\left(\frac{x+2}{x+1}\right) \]

4. Снятие логарифма:

   \[ 2x-1 = \frac{x+2}{x+1} \]

5. Упрощение и решение уравнения:

   \[ (2x-1)(x+1) = x+2 \]

   \[ 2x^2 + x – 3 = 0 \]

   \[ (2x-3)(x+1) = 0 \]

   Исключим отрицательные значения для логарифма:

   \[ x = \frac{3}{2} \]

b. Решение уравнения (

\[ \log₂(3x+1) \cdot \log₃x = 2 \cdot \log₂(3x+1) \]

):

1. Применение свойства логарифмов:

   \[ \frac{\log₂(3x+1)}{\log₂3 \cdot \log₃x} = 2 \]

2. Приведение к общему основанию логарифма:

   \[ \frac{\log₃(3x+1)}{\log₃x} = 2 \]

3. Перемножение обеих сторон на (

   \[ \log₃x \]

   ):

   \[ \log₃(3x+1) = 2 \cdot \log₃x \]

4. Применение свойства логарифмов:

   \[ \log₃(3x+1) = \log₃x^2 \]

5. Упрощение:

   \[ 3x+1 = x^2 \]

6. Приведение к квадратному уравнению и решение:

   \[ x^2 – 3x – 1 = 0 \]

   Используем квадратное уравнение или факторизацию:

   \[ x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \]

   Так как логарифм не определен для отрицательных значений, отбрасываем второй корень.

Итак, решения уравнений:

\[ a. \ x = \frac{3}{2} \]

\[ b. \ x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \]