13 Просмотров

Задание:

Решить методом Гаусса
2x+3y+z=4
4x-y+5z=6
x-2y+4z=9

Ответ на задание:

Для решения системы линейных уравнений методом Гаусса давайте сначала составим расширенную матрицу для данной системы:

\[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & \vert & 4 \ 4 & -1 & 5 & \vert & 6 \ 1 & -2 & 4 & \vert & 9 \ \end{bmatrix} \]

Теперь выполним ряд операций с строками, чтобы привести эту матрицу к ступенчатому виду:

1. R2 = R2 – 2R1:

   \[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & \vert & 4 \ 0 & -7 & 3 & \vert & -2 \ 1 & -2 & 4 & \vert & 9 \ \end{bmatrix} \]

2. R3 = R3 – 0.5R1:

   \[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & \vert & 4 \ 0 & -7 & 3 & \vert & -2 \ 0 & -1.5 & 3.5 & \vert & 7 \ \end{bmatrix} \]

3. R3 = R3 + 0.21R2:

   \[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & \vert & 4 \ 0 & -7 & 3 & \vert & -2 \ 0 & 0 & 3.14 & \vert & 5.47 \ \end{bmatrix} \]

Теперь можем провести обратную подстановку, чтобы найти значения переменных (x), (y) и (z):

1. Из третьей строки: \( 3.14z = 5.47 \implies z \approx 1.74 \)
2. Из второй строки: ​\( -7y + 3(1.74) = -2 \implies y \approx 1 \)​
3. Из первой строки: ​\( 2x + 3(1) + 1(1.74) = 4 \implies x \approx 0.13 \)​

Таким образом, решение системы уравнений приблизительно равно\( (x \approx 0.13), (y \approx 1) \)и ​\( (z \approx 1.74) \)​.