5 Просмотров

Задание:

Решить логарифмы:

\[ lg(2x^2-3x)-lg(6x+2)=0 \]

Ответ на задание:

Для решения данного логарифмического уравнения (

\[ \log(2x^2 – 3x) – \log(6x + 2) = 0 \]

) мы можем использовать свойства логарифмов. Основное свойство здесь заключается в том, что вычитание логарифмов эквивалентно делению аргументов логарифмов.

\[ \log(2x^2 – 3x) – \log(6x + 2) = \log\left(\frac{2x^2 – 3x}{6x + 2}\right) = 0 \]

Чтобы логарифм числа был равен нулю, число должно быть равным 1.

\[ \frac{2x^2 – 3x}{6x + 2} = 1 \]

Теперь мы можем решить для (x):

\[ 2x^2 – 3x = 6x + 2 \]

Переносим все члены на одну сторону, чтобы составить квадратное уравнение:

\[ 2x^2 – 3x – 6x – 2 = 0 \]

Объединим подобные члены:

\[ 2x^2 – 9x – 2 = 0 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратную формулу:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

Для данного уравнения (

\[ 2x^2 – 9x – 2 = 0 \]

) коэффициенты равны (a = 2), (b = -9) и (c = -2).

\[ x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 – 4(2)(-2)}}{2(2)} \]

Упростим выражение под знаком корня:

\[ x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 16}}{4} \]

\[ x = \frac{9 \pm \sqrt{97}}{4} \]

Таким образом, решения для (x) будут:

\[ x = \frac{9 + \sqrt{97}}{4} \quad \text{или} \quad x = \frac{9 – \sqrt{97}}{4} \]