16 Просмотров

Задание:

ВАРИАНТ 1

1. Решите уравнение:

   1. 4^(3x-17) = 64
   2. (1/2)^(2-3x) = 4^(x+7)
   3. 5^(x+1) + 5^(x-1) = 130
   4. 9^x – 7*3^x – 18 = 0
   5. 20^(x^2+3x-4) = 1

2. Решите неравенство:

   1. (1/7)^(4x+8) >= 49^(3-x)
   2. 3^(4x-7) < 27^(x+8)
   3. 6^(x^2+x-4) <= 36
   4. 2^(x+1) + 2^(x+2) > 96
   5. (3/4)^(7x+4) <= 9/16

3. Решить систему уравнений:
   { x + y = -2
   { 4x + 5y = 16

 

Ответ на задание:

1. Решите уравнение:

Уравнение 1: 4^(3x-17) = 64

• Преобразуем 64 в степень 4: 64 = 4^3
• Приравниваем степени: 4^(3x-17) = 4^3
• Решаем уравнение: 3x – 17 = 3
  • 3x = 20
  • x = 20/3

Уравнение 2: (1/2)^(2-3x) = 4^(x+7)

• Преобразуем 1/2 и 4 в степени 2: (1/2) = 2^(-1), 4 = 2^2
• Подставляем: 2^(-2+3x) = 2^(2x+14)
• Приравниваем степени: -2+3x = 2x+14
• Решаем уравнение: x = 16

Уравнение 3: 5^(x+1) + 5^(x-1) = 130

• Выносим общий множитель: 5^x * (5 + 1/5) = 130
• Упрощаем: 5^x * (26/5) = 130
• Решаем уравнение: 5^x = 25
  • x = 2

Уравнение 4: 9^x – 7*3^x – 18 = 0

• Заменим 9^x на (3^x)^2: (3^x)^2 – 7*3^x – 18 = 0
• Вводим замену t = 3^x: t^2 – 7t – 18 = 0
• Решаем квадратное уравнение: (t-9)(t+2) = 0
  • t = 9 или t = -2
• Возвращаемся к замене: 3^x = 9 или 3^x = -2
  • 3^x = -2 не имеет решений в действительных числах
  • 3^x = 9 => x = 2

Уравнение 5: 20^(x^2+3x-4) = 1

• Любое число в нулевой степени равно 1: 20^0 = 1
• Приравниваем показатели степеней: x^2+3x-4 = 0
• Решаем квадратное уравнение: (x+4)(x-1) = 0
  • x = -4 или x = 1

Ответы:

• Уравнение 1: x = 20/3
• Уравнение 2: x = 16
• Уравнение 3: x = 2
• Уравнение 4: x = 2
• Уравнение 5: x = -4 или x = 1

 

2. Решите неравенство:

Неравенство 1: (1/7)^(4x+8) >= 49^(3-x)

• Приведем основания к общему знаменателю:
  • (7^-1)^(4x+8) >= 7^2(3-x)
  • 7^(-4x-8) >= 7^(6-2x)
• Поскольку основания равны, сравниваем показатели степени:
  • -4x – 8 >= 6 – 2x
  • -2x >= 14
  • x <= -7
• Ответ: x ∈ (-∞; -7]

Неравенство 2: 3^(4x-7) < 27^(x+8)

• Приведем основания к общему знаменателю:
  • 3^(4x-7) < 3^3(x+8)
  • 4x – 7 < 3x + 24
  • x < 31
• Ответ: x ∈ (-∞; 31)

Неравенство 3: 6^(x^2+x-4) <= 36

• Представим 36 как 6^2:
  • 6^(x^2+x-4) <= 6^2
• Сравниваем показатели степени:
  • x^2 + x – 4 <= 2
  • x^2 + x – 6 <= 0
• Решаем квадратное неравенство методом интервалов (или другим удобным способом):
  • Корни уравнения x^2 + x – 6 = 0: x1 = -3, x2 = 2
  • Интервалы: (-∞; -3], [-3; 2], [2; +∞)
  • Проверяем знак выражения x^2 + x – 6 на каждом интервале.
• Ответ: x ∈ [-3; 2]

Неравенство 4: 2^(x+1) + 2^(x+2) > 96

• Вынесем общий множитель 2^(x+1):
  • 2^(x+1)(1 + 2) > 96
  • 2^(x+1) * 3 > 96
  • 2^(x+1) > 32
  • 2^(x+1) > 2^5
• Сравниваем показатели степени:
  • x + 1 > 5
  • x > 4
• Ответ: x ∈ (4; +∞)

Неравенство 5: (3/4)^(7x+4) <= 9/16

• Приведем основания к общему знаменателю:
  • (4/3)^(-7x-4) <= (4/3)^2
• Сравниваем показатели степени:
  • -7x – 4 <= 2
  • -7x <= 6
  • x >= -6/7
• Ответ: x ∈ [-6/7; +∞)

 

3. Решить систему уравнений:

Данная система уравнений может быть решена несколькими способами. Рассмотрим два наиболее распространенных:

1. Метод подстановки

• Шаг 1: Выражаем одну переменную из одного уравнения. Из первого уравнения выразим x:
  x = -2 – y

• Шаг 2: Подставляем полученное выражение в другое уравнение. Подставим x в второе уравнение: 4(-2 – y) + 5y = 16

• Шаг 3: Решаем получившееся уравнение с одной переменной. -8 – 4y + 5y = 16 y = 24

• Шаг 4: Подставляем найденное значение переменной в любое из исходных уравнений и находим значение второй переменной. Подставим y = 24 в x = -2 – y: x = -2 – 24 x = -26

Ответ: Решением системы уравнений является пара чисел (-26, 24).

2. Метод сложения

• Шаг 1: Умножаем одно или оба уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными. Умножим первое уравнение на -4: -4x – 4y = 8

• Шаг 2: Складываем почленно получившиеся уравнения. (-4x – 4y) + (4x + 5y) = 8 + 16 y = 24

• Шаг 3: Находим значение второй переменной, подставив найденное значение в одно из исходных уравнений. Дальнейшие действия аналогичны методу подстановки.

Ответ: Решением системы уравнений является пара чисел (-26, 24).

Оба метода приводят к одному и тому же ответу: x = -26, y = 24.

Проверка: Подставим найденные значения x и y в исходную систему уравнений:

• -26 + 24 = -2 (верно)
• 4*(-26) + 5*24 = 16 (верно)