24 Просмотров

Задание:

Решите систему с производными от функций С1 и С2

​\( 2C’1(t)e^2t=-C’2e^4t \)​
​\( 2C’2(t)e^4t-8C2(t)*e^4t=4/(1+e^-2t) \)​

Ответ на задание:

Дана система уравнений с производными функций (​\( C_1(t) \)​) и (​\( C_2(t) \)​):

\[ \begin{cases} 2 \cdot C_1′(t) \cdot e^{2t} = -C_2′(t) \cdot e^{4t} \ 2 \cdot C_2′(t) \cdot e^{4t} – 8 \cdot C_2(t) \cdot e^{4t} = \frac{4}{1 + e^{-2t}} \end{cases} \]

Давайте начнем с первого уравнения:

\[ 2 \cdot C_1′(t) \cdot e^{2t} = -C_2′(t) \cdot e^{4t} \]

Избавимся от производной (​\( C_1′(t) \)​) вторым уравнением:

\[ C_1′(t) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{C_2′(t) \cdot e^{4t}}{e^{2t}} \]

Теперь подставим это выражение для производной (​\( C_1′(t) \)​) во второе уравнение:

\[ 2 \cdot C_2′(t) \cdot e^{4t} – 8 \cdot C_2(t) \cdot e^{4t} = \frac{4}{1 + e^{-2t}} \]

Разделим все на (​\( 2 \cdot e^{4t} \)​):

\[ C_2′(t) – 4 \cdot C_2(t) = \frac{2}{1 + e^{-2t}} \]

Это уравнение можно решить методом вариации постоянной (методом неоднородных уравнений). Решение будет иметь вид:

\[ C_2(t) = A \cdot e^{4t} + \frac{1}{2} \cdot (1 – e^{-2t}) \]

где (A) – произвольная постоянная.

Теперь, чтобы найти (​\( C_1(t) \)​), мы можем использовать предыдущее выражение для (​\( C_1′(t) \)​):

\[ C_1′(t) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{C_2′(t) \cdot e^{4t}}{e^{2t}} \]

Подставим решение для (​\( C_2(t) \)​) и продифференцируем:

\[ C_1′(t) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{((4A + 2) \cdot e^{4t} – 2e^{-2t}) \cdot e^{4t}}{e^{2t}} \]

Упростим это выражение:

\[ C_1′(t) = -2A \cdot e^{2t} – e^{-2t} + 1 \]

Теперь проинтегрируем (​\( C_1′(t) \)​) для получения (​\( C_1(t) \)​):

\[ C_1(t) = -A \cdot e^{2t} + \frac{1}{2} \cdot e^{-2t} + t + B \]

где (B) – еще одна произвольная постоянная.

Таким образом, решение системы уравнений будет иметь вид:

\[ \begin{cases} C_1(t) = -A \cdot e^{2t} + \frac{1}{2} \cdot e^{-2t} + t + B \ C_2(t) = A \cdot e^{4t} + \frac{1}{2} \cdot (1 – e^{-2t}) \end{cases} \]

где (A) и (B) – произвольные постоянные.