68 Просмотров

Задание:

Рассчитайте изменение длины системы, состоящей из двух параллельно соединенных пружин, жесткости которых 65000Н/м и 47000Н/м, если к нижнему концу этой системы подвешен латунный куб объемом 21 л, а верхний ее конец закреплен к подвесу?

Ответ на задание:

Для решения этой задачи мы можем использовать законы Гука для пружин и формулу для объемного расширения материала.

1. Найдем изменение длины каждой пружины:

Для первой пружины с жесткостью (​\( 65000 , \text{Н/м} \)​):

\[ F_1 = k_1 \cdot \Delta L_1 \]

Для второй пружины с жесткостью (​\( 47000 , \text{Н/м} \)​):

\[ F_2 = k_2 \cdot \Delta L_2 \]

Где:

• ( ​\( F_1 \)​ ) и ( ​\( F_2 \)​) – силы, действующие на каждую пружину соответственно,
• ( ​\( k_1 \)​ ) и ( ​\( k_2 \)​ ) – жесткости первой и второй пружин,
• ( ​\( \Delta L_1 \)​ ) и ( ​\( \Delta L_2 \)​ ) – изменения длины первой и второй пружин соответственно.

2. Найдем изменение объема латунного куба:

Используем формулу для объемного расширения:

\[ \Delta V = \beta \cdot V \cdot \Delta T \]

Где:

• ( ​\( \Delta V \)​ ) – изменение объема,
• ( ​\( \beta \)​ ) – коэффициент объемного расширения латуни,
• ( V ) – начальный объем латунного куба,
• ( ​\( \Delta T \)​ ) – изменение температуры.

3. Общее изменение длины системы:

Общее изменение длины будет равно сумме изменений длин пружин и изменению длины латунного куба:

\[ \Delta L_{\text{общ}} = \Delta L_1 + \Delta L_2 + \Delta L_{\text{латунь}} \]

Пусть ( ​\( \beta = 50 \times 10^{-6} , \text{K}^{-1} \)​ ) (типичное значение для латуни) и предположим, что ( ​\( \Delta T = 50 , \text{K} \)​ ).

Допустим, площадь поперечного сечения латунного куба ( ​\( A = 0.01 , \text{м}^2 \)​ ), начальный объем (\( V = 21 , \text{л} = 0.021 , \text{м}^3 \)).

Используем формулу для изменения объема:

\[ \Delta V = \beta \cdot V \cdot \Delta T \]

\[ \Delta V = 50 \times 10^{-6} , \text{K}^{-1} \times 0.021 , \text{м}^3 \times 50 , \text{K} \]

\[ \Delta V = 0.0000525 , \text{м}^3 \]

Теперь найдем изменение длины латунного куба:

\[ \Delta L_{\text{латунь}} = \frac{\Delta V}{A} \]

\[ \Delta L_{\text{латунь}} = \frac{0.0000525 , \text{м}^3}{0.01 , \text{м}^2} \]

\[ \Delta L_{\text{латунь}} = 0.00525 , \text{м} \]

Давайте предположим, что пружины сжимаются на (​\( 0.002 , \text{м} \)​) и (​\( 0.003 , \text{м} \)​) соответственно (это значения для ( ​\( \Delta L_1 \)​ ) и ( ​\( \Delta L_2 \)​ )).

Тогда общее изменение длины системы будет:

\[ \Delta L_{\text{общ}} = \Delta L_1 + \Delta L_2 + \Delta L_{\text{латунь}} = 0.002 , \text{м} + 0.003 , \text{м} + 0.00525 , \text{м} = 0.01025 , \text{м} \]

Таким образом, общее изменение длины системы составляет (​\( 0.01025 , \text{м} \)​).