30 Просмотров

Задание:

Радиус большего основания усечённого конуса равен 11 см, образующая – 13 см, а высота – 12 см. Найдите радиус меньшего основания усечённого конуса.

Ответ на задание:

Для решения задачи используем подобие усеченных конусов. Обозначим радиус большего основания как ( ​\( R_1 \)​ ), радиус меньшего основания как ( ​\( R_2 \)​ ), образующую как ( L ), а высоту как ( h ).

Из подобия конусов получаем соотношение:

\[ \frac{R_1}{R_2} = \frac{L_1}{L_2} \]

где ( ​\( L_1 \)​ ) и ( ​\( L_2 \)​ ) – образующие соответственно большего и меньшего конусов.

Зная, что ( ​\( R_1 = 11 \)​ ) см, ( ​\( L_1 = 13 \)​ ) см и ( h = 12 ) см, можем выразить ( ​\( L_2 \)​ ) через ( ​\( R_2 \)​ ):

\[ \frac{11}{R_2} = \frac{13}{L_2} \implies L_2 = \frac{13 \cdot R_2}{11} \]

Теперь можем использовать теорему Пифагора для нахождения ( ​\( L_2 \)​ ):

\[ L_2^2 = R_2^2 + h^2 \]

Подставляем значение ( ​\( L_2 \)​ ):

\[ \left(\frac{13 \cdot R_2}{11}\right)^2 = R_2^2 + 12^2 \]

Решив это уравнение относительно ( ​\( R_2 \)​ ), найдем радиус меньшего основания.

Итак, решим уравнение:

\[ \left(\frac{13 \cdot R_2}{11}\right)^2 = R_2^2 + 12^2 \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{169 \cdot R_2^2}{121} = R_2^2 + 144 \]

Умножим обе стороны на 121, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 169 \cdot R_2^2 = 121 \cdot R_2^2 + 121 \cdot 144 \]

Выразим ( ​\( R_2^2 \)​ ):

\[ 169 \cdot R_2^2 – 121 \cdot R_2^2 = 121 \cdot 144 \]

\[ 48 \cdot R_2^2 = 121 \cdot 144 \]

Теперь выразим (​\( R_2 \)​ ):

\[ R_2^2 = \frac{121 \cdot 144}{48} \]

\[ R_2^2 = 3 \cdot 121 \]

\[ R_2^2 = 363 \]

\[ R_2 = \sqrt{363} \]

Таким образом, радиус меньшего основания усеченного конуса равен ( ​\( \sqrt{363} \)​ ) см.