38 Просмотров

Задание:

Радиус большего основания усечённого конуса равен 11 см, образующая – 13 см, а высота – 12 см. Найдите радиус меньшего основания усечённого конуса.

Ответ на задание:

Для решения задачи используем подобие усеченных конусов. Обозначим радиус большего основания как ( ​$R_1$​ ), радиус меньшего основания как ( ​$R_2$​ ), образующую как ( L ), а высоту как ( h ).

Из подобия конусов получаем соотношение:

$$\frac{R_1}{R_2} = \frac{L_1}{L_2}$$

где ( ​$L_1$​ ) и ( ​$L_2$​ ) – образующие соответственно большего и меньшего конусов.

Зная, что ( ​$R_1 = 11$​ ) см, ( ​$L_1 = 13$​ ) см и ( h = 12 ) см, можем выразить ( ​$L_2$​ ) через ( ​$R_2$​ ):

$$\frac{11}{R_2} = \frac{13}{L_2} \implies L_2 = \frac{13 \cdot R_2}{11}$$

Теперь можем использовать теорему Пифагора для нахождения ( ​$L_2$​ ):

$$L_2^2 = R_2^2 + h^2$$

Подставляем значение ( ​$L_2$​ ):

$$\left(\frac{13 \cdot R_2}{11}\right)^2 = R_2^2 + 12^2$$

Решив это уравнение относительно ( ​$R_2$​ ), найдем радиус меньшего основания.

Итак, решим уравнение:

$$\left(\frac{13 \cdot R_2}{11}\right)^2 = R_2^2 + 12^2$$

Раскроем скобки:

$$\frac{169 \cdot R_2^2}{121} = R_2^2 + 144$$

Умножим обе стороны на 121, чтобы избавиться от знаменателя:

$$169 \cdot R_2^2 = 121 \cdot R_2^2 + 121 \cdot 144$$

Выразим ( ​$R_2^2$​ ):

$$169 \cdot R_2^2 – 121 \cdot R_2^2 = 121 \cdot 144$$

$$48 \cdot R_2^2 = 121 \cdot 144$$

Теперь выразим (​$R_2$​ ):

$$R_2^2 = \frac{121 \cdot 144}{48}$$

$$R_2^2 = 3 \cdot 121$$

$$R_2^2 = 363$$

$$R_2 = \sqrt{363}$$

Таким образом, радиус меньшего основания усеченного конуса равен ( ​$\sqrt{363}$​ ) см.