Радиус большего основания усечённого конуса равен 11 см
17 Просмотров
Задание:
Радиус большего основания усечённого конуса равен 11 см, образующая – 13 см, а высота – 12 см. Найдите радиус меньшего основания усечённого конуса.
Ответ на задание:
Для решения задачи используем подобие усеченных конусов. Обозначим радиус большего основания как ( \( R_1 \) ), радиус меньшего основания как ( \( R_2 \) ), образующую как ( L ), а высоту как ( h ).
Из подобия конусов получаем соотношение:
\[ \frac{R_1}{R_2} = \frac{L_1}{L_2} \]
где ( \( L_1 \) ) и ( \( L_2 \) ) – образующие соответственно большего и меньшего конусов.
Зная, что ( \( R_1 = 11 \) ) см, ( \( L_1 = 13 \) ) см и ( h = 12 ) см, можем выразить ( \( L_2 \) ) через ( \( R_2 \) ):
\[ \frac{11}{R_2} = \frac{13}{L_2} \implies L_2 = \frac{13 \cdot R_2}{11} \]
Теперь можем использовать теорему Пифагора для нахождения ( \( L_2 \) ):
\[ L_2^2 = R_2^2 + h^2 \]
Подставляем значение ( \( L_2 \) ):
\[ \left(\frac{13 \cdot R_2}{11}\right)^2 = R_2^2 + 12^2 \]
Решив это уравнение относительно ( \( R_2 \) ), найдем радиус меньшего основания.
Итак, решим уравнение:
\[ \left(\frac{13 \cdot R_2}{11}\right)^2 = R_2^2 + 12^2 \]
Раскроем скобки:
\[ \frac{169 \cdot R_2^2}{121} = R_2^2 + 144 \]
Умножим обе стороны на 121, чтобы избавиться от знаменателя:
\[ 169 \cdot R_2^2 = 121 \cdot R_2^2 + 121 \cdot 144 \]
Выразим ( \( R_2^2 \) ):
\[ 169 \cdot R_2^2 – 121 \cdot R_2^2 = 121 \cdot 144 \]
\[ 48 \cdot R_2^2 = 121 \cdot 144 \]
Теперь выразим (\( R_2 \) ):
\[ R_2^2 = \frac{121 \cdot 144}{48} \]
\[ R_2^2 = 3 \cdot 121 \]
\[ R_2^2 = 363 \]
\[ R_2 = \sqrt{363} \]
Таким образом, радиус меньшего основания усеченного конуса равен ( \( \sqrt{363} \) ) см.