7 Просмотров

Задание:

1. При каких значениях параметра a функция ​\( y = 5x^3 – 15x \)​ убывает на отрезке [a+8; a+10]?

Ответ a = ___.

2. В решении используется следующая математическая модель (впиши числа):

​\( \begin{cases} a + 8 \geq \square \\ a + 10 \leq \square \\ a \geq \square \\ a \leq \square \end{cases} \)​

 

Ответ на задание:

Вопрос 1.

Функция убывает на заданном интервале, если ее производная отрицательна на этом интервале.

Решение

1. Найдем производную функции: ​\( y’ = 15x^2 – 15 \)​

2. Определим условия убывания: Для того чтобы функция убывала, необходимо, чтобы производная была отрицательна: ​\( 15x^2 – 15 < 0 \)​ Решая это неравенство, получаем: ​\( ( x^2 < 1 ) ( -1 < x < 1 ) \)​

3. Подставим границы отрезка в полученное неравенство: Нам нужно, чтобы все значения  x  из отрезка  [a+8; a+10]  удовлетворяли неравенству ( -1 < x < 1 ). Это возможно только в том случае, если:

   • ( a+8 > -1 )
   • ( a+10 < 1 )

4. Решим систему неравенств: Получаем систему неравенств: \( \begin{cases} a > -9 \ a < -9 \end{cases} \)Эта система не имеет решений.

Ответ

Таким образом, не существует такого значения параметра a, при котором функция ​\( y = 5x^3 – 15x \)​ убывала бы на отрезке  [a+8; a+10] .

Вывод

Полученный результат означает, что независимо от значения параметра  a , всегда найдется точка на отрезке  [a+8; a+10] , в которой функция либо возрастает, либо имеет экстремум. Это связано с тем, что функция ​\( y = 5x^3 – 15x \)​  является кубической и имеет точки перегиба.

Ответ: ​\( a = \varnothing \)​ пустое множество

Вопрос 2.

Мы уже определили, что для того, чтобы функция  ​\( y = 5x^3 – 15x \)​  убывала на отрезке [a+8; a+10], необходимо, чтобы все значения x из этого отрезка удовлетворяли неравенству ( -1 < x < 1 ).

Заполнение пропусков:

Чтобы все значения x из отрезка [a+8; a+10] попадали в интервал  (-1; 1) , необходимо, чтобы:

• Левая граница отрезка ( a+8 ) была больше или равна левой границе интервала ​\( ( -1 ): ( a + 8 \geq -1 ) \)​

• Правая граница отрезка ( a+10 ) была меньше или равна правой границе интервала ​\( ( 1 ): ( a + 10 \leq 1 ) \)​

Таким образом, получаем систему неравенств:

​\( \begin{cases} a + 8 \geq -1 \ a + 10 \leq 1 \end{cases} \)​

Решение системы:

Решая каждое неравенство отдельно, получаем:

• ​\( ( a \geq -9 ) \)​
• ​\( ( a \leq -9 ) \)​

Как мы уже выяснили ранее, эта система не имеет решения.

Заполненная математическая модель:

​\( \begin{cases} a + 8 \geq \textbf{-1} \ a + 10 \leq \textbf{1} \ a \geq \textbf{-9} \ a \leq \textbf{-9} \end{cases} \)​

Вывод:

Несмотря на то, что мы заполнили пропуски в математической модели, система неравенств не имеет решения. Это подтверждает наш предыдущий вывод о том, что не существует такого значения параметра a, при котором функция ​\( y = 5x^3 – 15x \)​ убывала бы на отрезке [a+8; a+10].