4 Просмотров

Задание:

Периметр равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равен 32 см. Градусная мера одного из углов трапеции равна 30°. Вычислите площадь трапеции.

 

Ответ на задание:

Дана равнобедренная трапеция, описанная около окружности.

• Периметр трапеции P = 32 см.
• Один из углов трапеции равен 30°.
• Требуется найти площадь трапеции.

Решение

1. Свойства описанной трапеции:

   • Вписанная в окружность трапеция обязательно равнобедренная.
   • Сумма противоположных углов описанной трапеции равна 180°.

2. Нахождение углов:

   • Если один угол равен 30°, то противолежащий ему угол также равен 30°.
   • Остальные два угла будут равны 180° – 30° = 150° каждый.

3. Нахождение сторон:

   • Обозначим боковую сторону трапеции как a, а основания как b и c (причем b > c).
   • Поскольку трапеция равнобедренная, то a = c.
   • Запишем уравнение для периметра: 2a + b + c = 32, или 2a + 2*c = 32.
   • Учитывая, что a = c, получим: 4*a = 32, откуда a = 8 см.
   • Следовательно, c = 8 см.
   • Для нахождения основания b нам потребуется дополнительная информация, которую можно получить из свойств треугольника, образованного боковой стороной, высотой и половиной разности оснований.

4. Нахождение высоты:

   • Опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Получим прямоугольный треугольник с углом 30°.
   • В таком треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.
   • Значит, высота трапеции h = a/2 = 8/2 = 4 см.

5. Нахождение большего основания:

   • Используем свойство, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, лежащий против угла 60°, равен произведению катета, лежащего против угла 30°, на √3.
   • Получаем: (b-c)/2 = h * √3.
   • Подставив известные значения, получим: (b-8)/2 = 4 * √3.
   • Решив это уравнение, найдем значение b.

6. Вычисление площади:

   • Площадь трапеции S = (b + c) * h / 2.
   • Подставив найденные значения b, c и h, получим окончательный ответ.

7. Нахождение большего основания (b)

   Мы остановились на уравнении:

   • (b-8)/2 = 4 * √3

   Умножим обе части уравнения на 2:

   • b – 8 = 8 * √3

   Перенесем 8 в правую часть:

   • b = 8 + 8 * √3

8. Вычисление площади

   Теперь, когда мы нашли все необходимые значения, подставим их в формулу площади трапеции:

   • S = (b + c) * h / 2
   • S = (8 + 8 * √3 + 8) * 4 / 2
   • S = (16 + 8 * √3) * 2
   • S = 32 + 16 * √3

   Ответ: Площадь трапеции равна 32 + 16√3 квадратных сантиметров.