5 Просмотров

Задание:

Отрезки АД и ВС пересекаются в точке К так, что АК = 12см, КД = 3см, ВК = 20см, КС = 5см, < КДС = 60, < ДКС = 50. Найдите величину < АВК.

Варианты ответов: 1) 60 2) 50 3) 70 4) 80

Ответ на задание:

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами треугольников и углами, образованными пересекающимися отрезками.

Итак, у нас есть треугольник АКВ, и мы ищем величину угла < АВК.

1. Используем теорему косинусов в треугольнике АКВ:

   \[ VK^2 = AK^2 + AV^2 – 2 \cdot AK \cdot AV \cdot \cos(\angle A) \]

2. Подставим известные значения:

   \[ 20^2 = 12^2 + AV^2 – 2 \cdot 12 \cdot AV \cdot \cos(\angle A) \]

3. Решим уравнение относительно ( ​\( AV^2 \)​ ):

   \[ 400 = 144 + AV^2 – 24AV \cos(\angle A) \]

   \[ AV^2 – 24AV \cos(\angle A) = 256 \]

4. Теперь рассмотрим треугольник КДС. Мы знаем, что ( ​\( \angle КДС = 60^\circ \)​) и ( ​\( \angle ДКС = 50^\circ \)​). Также, ( KD = 3 ) и ( KS = 5 ).

5. Мы можем использовать теорему косинусов для треугольника КДС: ​

   \[ KS^2 = KD^2 + DS^2 – 2 \cdot KD \cdot DS \cdot \cos(\angle КДС) \]

6. Подставим известные значения:

   \[ 5^2 = 3^2 + DS^2 – 2 \cdot 3 \cdot DS \cdot \cos(60^\circ) \]

7. Решим уравнение относительно (​\( DS^2 \)​):

   \[ 25 = 9 + DS^2 – 3DS \]

   \[ DS^2 – 3DS = 16 \]

8. Теперь мы знаем ( ​\( DS^2 \)​ ), а также ( VK = 20 ), ( AK = 12 ), и ( KD = 3 ). Мы можем использовать теорему косинусов в треугольнике ВКД:

   \[ VK^2 = KD^2 + DS^2 – 2 \cdot KD \cdot DS \cdot \cos(\angle ВКД) \]

9. Подставим значения:

   \[ 20^2 = 3^2 + DS^2 – 2 \cdot 3 \cdot DS \cdot \cos(\angle ВКД) \]

10. Решим уравнение относительно ( ​\( \cos(\angle ВКД) \)​ ):

    \[ 400 = 9 + DS^2 – 6DS \]

    \[ DS^2 – 6DS = 391 \]

11. Теперь, зная ( ​\( DS^2 \)​ ) и ( ​\( DS^2 – 3DS \)​ ), мы можем решить систему уравнений и найти ( DS ) и ( AV ).

12. Наконец, используем теорему косинусов в треугольнике АВК:

    \[ AV^2 = AK^2 + VK^2 – 2 \cdot AK \cdot VK \cdot \cos(\angle АВК) \]

13. Подставим значения:

    \[ AV^2 = 12^2 + 20^2 – 2 \cdot 12 \cdot 20 \cdot \cos(\angle АВК) \]

14. Решим уравнение относительно ( ​\( \cos(\angle АВК) \)​):

    \[ AV^2 = 144 + 400 – 480 \cdot \cos(\angle АВК) \]

15. Наконец, найдем ( ​\( \angle АВК \)​ ) с использованием арккосинуса:

    \[ \cos(\angle АВК) = \frac{144 + 400 – AV^2}{480} \]

16. Найденное значение (\( \cos(\angle АВК) \)) преобразуем в угол ( ​\( \angle АВК \)​).

Мы знаем, что в треугольнике КДС угол К = 60°, угол Д = 50°, КД = 3 см и КС = 5 см.

Теперь применим теорему синусов к треугольнику КДС:

\[ \frac{KD}{\sin(\angle KDS)} = \frac{KS}{\sin(\angle K)} \]

Подставляем известные значения:

\[ \frac{3}{\sin(50^\circ)} = \frac{5}{\sin(60^\circ)} \]

Решаем уравнение для нахождения угла KDS:

\[ \sin(\angle KDS) = \frac{3 \cdot \sin(60^\circ)}{5} \]

\[ \angle KDS = \arcsin\left(\frac{3 \cdot \sin(60^\circ)}{5}\right) \]

\[ \angle KDS \approx 34.83^\circ \]

Теперь, чтобы найти угол АВК, мы можем использовать угол КDS и информацию об угле К в треугольнике АКВ.

Угол АВК = 180° – угол К – угол КDS Угол АВК = 180° – 60° – 34.83° Угол АВК ≈ 85.17°

Таким образом, угол АВК близок к 85 градусам. Вариант ответа, который наиболее близок, это 80°.