666 Просмотров

Задание:

Один сказочный король всегда следовал советам советника. Однажды король решил, что лучше иметь двух советников, чем одного. Если советники советуют одного и то же, то нужно следовать их совету. Если советники расходятся, то нужно принимать решение бросая монету. Будем считать, что каждый из советников даёт независимо от другого верный совет с вероятностью p. Правда ли, что, имея двух советников, король будет чаще принимать верные решения, чем имея одного? Какова вероятность принятия верного решения при двух советниках?

Ответ на задание:

Давайте рассмотрим вероятность того, что король примет верное решение при одном советнике и при двух советниках.

1. Один советник:

   • Вероятность того, что советник даст верный совет: (p).
   • Вероятность того, что советник даст неверный совет: (1 – p).

   Таким образом, вероятность принятия верного решения при одном советнике равна (p).

2. Два советника:

   • Вероятность того, что оба советника дадут верные советы: (​\( p \times p = p^2 \)​).
   • Вероятность того, что хотя бы один из советников даст неверный совет: (​\( 1 – p^2 \)​).

   В соответствии с правилом короля, если советы совпадают, то король следует им. Если советы различаются, то король бросает монету с вероятностью 0.5 принять тот или иной совет.

   Таким образом, вероятность принятия верного решения при двух советниках равна:

   \[ P(\text{верное решение}) = P(\text{оба совета верные}) + P(\text{разные советы}) \times 0.5 \]

   \[ = p^2 + (1 – p^2) \times 0.5 \]

Теперь можно сравнить вероятности принятия верного решения при одном и двух советниках.

Таким образом, даже если (p) достаточно близко к 1 (вероятность верного совета высока), добавление второго советника не обязательно увеличит вероятность принятия верного решения, если они могут давать разные советы.