30 Просмотров

Задание:

На полюсе некоторой планеты тела весят втрое больше, чем на экваторе. Определите ускорение свободного падения на полюсе, если сутки на этой планете длятся T = 3 часа, а её размеры аналогичны размерам Земли.

Ответ на задание:

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для центробежного ускорения на экваторе:

\[ a_{\text{экватор}} = \frac{{4 \pi^2 R}}{{T^2}} \]

где ( R ) – радиус планеты, ( T ) – период вращения планеты.

На полюсе тела весят втрое больше, чем на экваторе. Вес тела связан с ускорением свободного падения следующим образом:

\[ F = m \cdot g \]

Также известно, что на полюсе вес тела втрое больше, чем на экваторе. То есть:

\[ F_{\text{полюс}} = 3 \cdot F_{\text{экватор}} \]

Из уравнения ( ​\( F = m \cdot g \)​ ) следует, что ускорение свободного падения ( g ) на полюсе также будет втрое больше, чем на экваторе.

Теперь можем написать соотношение для ускорения на полюсе:

\[ g_{\text{полюс}} = 3 \cdot g_{\text{экватор}} \]

Таким образом, мы можем написать выражение для ускорения на полюсе через ускорение на экваторе:

\[ g_{\text{полюс}} = 3 \cdot \frac{{4 \pi^2 R}}{{T^2}} \]

Теперь, если размеры планеты аналогичны размерам Земли, то радиус планеты ( R ) можно заменить на радиус Земли ( ​\( R_{\text{Земли}} \)​ ) (приблизительно 6371 км).

\[ g_{\text{полюс}} = 3 \cdot \frac{{4 \pi^2 \cdot R_{\text{Земли}}}}{{T^2}} \]

Таким образом, вы можете вычислить ускорение свободного падения на полюсе, используя указанные формулы и значения.

Давайте подставим известные значения в формулу:

\[ g_{\text{полюс}} = 3 \cdot \frac{{4 \pi^2 \cdot R_{\text{Земли}}}}{{T^2}} \]

где ( ​\( R_{\text{Земли}} \)​) – радиус Земли (примерно 6371 км), а ( T ) – период вращения планеты в сутках.

Поскольку сутки на этой планете длятся ( T = 3 ) часа, что эквивалентно ( T = 3/24 = 1/8 ) суток, мы можем подставить эти значения:

\[ g_{\text{полюс}} = 3 \cdot \frac{{4 \pi^2 \cdot 6371}}{{(1/8)^2}} \]

Теперь давайте вычислим это:

\[ g_{\text{полюс}} = 3 \cdot \frac{{4 \pi^2 \cdot 6371}}{{(1/8)^2}} \approx 3 \cdot \frac{{4 \pi^2 \cdot 6371}}{{1/64}} \]

\[ g_{\text{полюс}} \approx 3 \cdot 4 \pi^2 \cdot 6371 \cdot 64 \]

\[ g_{\text{полюс}} \approx 3 \cdot 4 \cdot 3.1416^2 \cdot 6371 \cdot 64 \]

\[ g_{\text{полюс}} \approx 3 \cdot 4 \cdot 9.8696 \cdot 6371 \cdot 64 \]

\[ g_{\text{полюс}} \approx 3 \cdot 4 \cdot 6371 \cdot 201.06144 \]

\[ g_{\text{полюс}} \approx 3 \cdot 4 \cdot 127417.53728 \]

\[ g_{\text{полюс}} \approx 3 \cdot 509670.14912 \]

\[ g_{\text{полюс}} \approx 1529010.44736 \]

Таким образом, ускорение свободного падения на полюсе этой планеты составляет примерно (​\( 1529010 , \text{м/с}^2 \)​).