32 Просмотров

Задание:

На гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС опущена высота СН, АН = 4, ВН = 9. Найдите СН

Ответ на задание:

Для решения задачи воспользуемся свойством подобных треугольников.

Пусть ( AC = x ) – катет треугольника ( АСН ), а ( BC = y ) – катет треугольника ( ВСН ).

Так как треугольники ( АВС ), ( АСН ) и ( ВСН ) подобны, то отношения длин соответственных сторон равны:

\[ \frac{AC}{AB} = \frac{HN}{BC} = \frac{AN}{AC + CN} \]

Мы знаем, что ( AC = x ) и ( BC = y ), а также ( AN = 4 ) и ( BN = 9 ). Подставим известные значения:

\[ \frac{x}{AB} = \frac{HN}{y} = \frac{4}{x + CN} \]

Также из условия задачи известно, что ( AN + BN = AB ):

\[ 4 + 9 = AB \implies AB = 13 \]

Теперь мы можем записать систему уравнений:

\[ \begin{align*} \frac{x}{13} &= \frac{HN}{y} \ \frac{4}{x + CN} &= \frac{HN}{y} \end{align*} \]

Решив эту систему, мы сможем найти значения ( x ) и ( CN ), а затем искомую длину высоты ( CH ).

Подставим первое уравнение во второе и решим относительно ( CN ):

\[ \frac{4y}{x} = \frac{HN}{y} \implies HN = \frac{4y^2}{x} \]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\[ \frac{4}{x + CN} = \frac{\frac{4y^2}{x}}{y} \implies x + CN = \frac{y}{y} \cdot \frac{x}{4y^2} \cdot 4 \implies CN = \frac{x}{4y} \]

Теперь мы знаем, что ( ​\( CN = \frac{x}{4y} \)​ ) и ( ​\( HN = \frac{4y^2}{x} \)​ ). Сложим эти два значения:

\[ CH = CN + HN = \frac{x}{4y} + \frac{4y^2}{x} \]

Таким образом, ( CH ) равно сумме ( ​\( \frac{x}{4y} \)​ ) и ( ​\( \frac{4y^2}{x} \)​ ).