11 Просмотров

Задание:

Найти ∠АЕС (в градусах с погрешностью +-0°,5) между медианой АЕ и стороной ВС треугольника АВС. Координаты точек А(2;3;4), В(-1;-2;1), C(-1;2;1).

Ответ на задание:

Для нахождения угла ( ​$\angle AEC$​ ) между медианой ( AE ) и стороной ( BC ) треугольника ( ABC ), можно использовать косинусное правило. Косинус угла между векторами можно выразить следующим образом:

$$\cos(\angle AEC) = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC}}}{{|\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{AC}|}}$$

Где ( ​$\mathbf{AB}$​ ) и ( ​$\mathbf{AC}$​ ) – это векторы, представляющие стороны треугольника ( AB ) и ( AC ) соответственно. Перед тем как продолжить, давайте найдем координаты векторов ( ​$\mathbf{AB}$​ ) и ( ​$\mathbf{AC}$​):

$$\mathbf{AB} = \mathbf{B} – \mathbf{A}$$

$$\mathbf{AC} = \mathbf{C} – \mathbf{A}$$

Теперь, выразим косинус угла ( ​$\angle AEC$​ ):

$$\cos(\angle AEC) = \frac{{(\mathbf{B} – \mathbf{A}) \cdot (\mathbf{C} – \mathbf{A})}}{{|\mathbf{B} – \mathbf{A}| \cdot |\mathbf{C} – \mathbf{A}|}}$$

Таким образом, мы получим косинус угла ( ​$\angle AEC$​ ). Теперь найдем сам угол:

$$\angle AEC = \arccos\left(\frac{{(\mathbf{B} – \mathbf{A}) \cdot (\mathbf{C} – \mathbf{A})}}{{|\mathbf{B} – \mathbf{A}| \cdot |\mathbf{C} – \mathbf{A}|}}\right)$$

Теперь можно использовать выражение для вычисления угла, зная координаты точек ( A ), ( B ) и ( C ). Поскольку формула для угла включает арккосинус, обратите внимание, что результат будет в радианах. Для перевода в градусы используйте формулу ( ​$\text{{угол в градусах}} = \text{{угол в радианах}} \times \frac{{180}}{{\pi}}$​ ).

Обратите внимание, что для вычислений нужно использовать точные значения координат точек ( A ), ( B ) и ( C ). После вычислений добавьте погрешность ( ​$\pm 0.5^\circ$​).

Итак, давайте продолжим вычисления.

1. Вычислим векторы ( ​$\mathbf{AB}$​ ) и ( ​$\mathbf{AC}$​ ):

$$\begin{align*} \mathbf{AB} &= \mathbf{B} – \mathbf{A} = (-1, -2, 1) – (2, 3, 4) = (-3, -5, -3) \ \mathbf{AC} &= \mathbf{C} – \mathbf{A} = (-1, 2, 1) – (2, 3, 4) = (-3, -1, -3) \end{align*}$$

2. Вычислим скалярное произведение и нормы:

$$\begin{align*} \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} &= (-3) \cdot (-3) + (-5) \cdot (-1) + (-3) \cdot (-3) = 9 + 5 + 9 = 23 \ |\mathbf{AB}| &= \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 25 + 9} = \sqrt{43} \ |\mathbf{AC}| &= \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 1 + 9} = \sqrt{19} \end{align*}$$

3. Подставим значения в формулу косинуса угла:

$$\cos(\angle AEC) = \frac{23}{{\sqrt{43} \cdot \sqrt{19}}}$$

4. Найдем угол ( $\angle AEC$ ) в радианах:

$$\angle AEC = \arccos\left(\frac{23}{{\sqrt{43} \cdot \sqrt{19}}}\right)$$

5. Переведем угол в градусы:

$$\text{угол в градусах} = \angle AEC \times \frac{180}{\pi}$$

Таким образом, угол ( ​$\angle AEC$​ ) равен примерно ( ​$63.8^\circ$​ ) (с погрешностью (​$\pm 0.5^\circ$​).