5 Просмотров

Задание:

Найти наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке:
$f(x) = \frac{1-x+x^2}{1+x-x^2}$, [0, 1]

Ответ на задание:

Для нахождения наибольших и наименьших значений функции ( ​$f(x) = \frac{1-x+x^2}{1+x-x^2}$​ ) на отрезке ([0, 1]), следует выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки функции внутри интервала (0, 1), решив уравнение (​$f'(x) = 0$​).
2. Проверить значения функции в найденных критических точках и на концах интервала ([0, 1]).
3. Найти максимальное и минимальное значения.

Давайте выполним эти шаги:

1. Нахождение критических точек:

$$f(x) = \frac{1-x+x^2}{1+x-x^2}$$

​$f'(x)$​ – производная функции.

$$f'(x) = \frac{(1+x-x^2)(-1) – (1-x+x^2)(1-2x)}{(1+x-x^2)^2}$$

Решим (​$f'(x) = 0$​):

$$\frac{(1+x-x^2)(-1) – (1-x+x^2)(1-2x)}{(1+x-x^2)^2} = 0$$

Решив это уравнение, найдем критические точки (x).

2. Проверка значений функции:

Вычислим значения функции в найденных критических точках и на концах интервала ([0, 1]):

• (​$f(0)$​)
• (​$f(\text{критическая точка 1})$​)
• (​$f(\text{критическая точка 2})$​)
• (​$f(1)$​)

3. Нахождение максимального и минимального значений:

Сравним полученные значения и определим, какие из них являются максимальными и минимальными на интервале ([0, 1]).

Как только мы найдем критические точки и вычислим значения функции в них и на концах интервала, мы сможем определить наибольшие и наименьшие значения функции на заданном отрезке.

Давайте продолжим, решив уравнение для нахождения критических точек:

$$(1+x-x^2)(-1) – (1-x+x^2)(1-2x) = 0$$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$-1 – x + x^2 + 1 – x + x^2(1-2x) = 0$$

$$-2x^2 + 2x^3 = 0$$

$$2x^2(x-1) = 0$$

Таким образом, у нас две критические точки: (x = 0) и (x = 1).

Теперь вычислим значения функции в этих точках и на концах интервала:

• (​$f(0)$​)
• (​$f(1)$​)

$$f(x) = \frac{1-x+x^2}{1+x-x^2}$$

• (​$f(0) = \frac{1-0+0^2}{1+0-0^2} = 1$​)
• (​$f(1) = \frac{1-1+1^2}{1+1-1^2} = 0$​)

Таким образом, получаем следующие значения:

• (​$f(0) = 1$​)
• (​$f(1) = 0$​)

Так как у нас всего две критические точки и они являются концами интервала, то на этом интервале нет других точек, где функция может достигнуть экстремума. Таким образом, максимальное значение функции (​$f(x)$​) на интервале ([0, 1]) равно 1 (в точке (x = 0)), а минимальное значение равно 0 (в точке (x = 1)).