5 Просмотров

Задание:

Найти наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке:
\( f(x) = \frac{1-x+x^2}{1+x-x^2} \), [0, 1]

Ответ на задание:

Для нахождения наибольших и наименьших значений функции ( ​\( f(x) = \frac{1-x+x^2}{1+x-x^2} \)​ ) на отрезке ([0, 1]), следует выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки функции внутри интервала (0, 1), решив уравнение (​\( f'(x) = 0 \)​).
2. Проверить значения функции в найденных критических точках и на концах интервала ([0, 1]).
3. Найти максимальное и минимальное значения.

Давайте выполним эти шаги:

1. Нахождение критических точек:

\[ f(x) = \frac{1-x+x^2}{1+x-x^2} \]

​\( f'(x) \)​ – производная функции.

\[ f'(x) = \frac{(1+x-x^2)(-1) – (1-x+x^2)(1-2x)}{(1+x-x^2)^2} \]

Решим (​\( f'(x) = 0 \)​):

\[ \frac{(1+x-x^2)(-1) – (1-x+x^2)(1-2x)}{(1+x-x^2)^2} = 0 \]

Решив это уравнение, найдем критические точки (x).

2. Проверка значений функции:

Вычислим значения функции в найденных критических точках и на концах интервала ([0, 1]):

• (​\( f(0) \)​)
• (​\( f(\text{критическая точка 1}) \)​)
• (​\( f(\text{критическая точка 2}) \)​)
• (​\( f(1) \)​)

3. Нахождение максимального и минимального значений:

Сравним полученные значения и определим, какие из них являются максимальными и минимальными на интервале ([0, 1]).

Как только мы найдем критические точки и вычислим значения функции в них и на концах интервала, мы сможем определить наибольшие и наименьшие значения функции на заданном отрезке.

Давайте продолжим, решив уравнение для нахождения критических точек:

\[ (1+x-x^2)(-1) – (1-x+x^2)(1-2x) = 0 \]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[ -1 – x + x^2 + 1 – x + x^2(1-2x) = 0 \]

\[ -2x^2 + 2x^3 = 0 \]

\[ 2x^2(x-1) = 0 \]

Таким образом, у нас две критические точки: (x = 0) и (x = 1).

Теперь вычислим значения функции в этих точках и на концах интервала:

• (​\( f(0) \)​)
• (​\( f(1) \)​)

\[ f(x) = \frac{1-x+x^2}{1+x-x^2} \]

• (​\( f(0) = \frac{1-0+0^2}{1+0-0^2} = 1 \)​)
• (​\( f(1) = \frac{1-1+1^2}{1+1-1^2} = 0 \)​)

Таким образом, получаем следующие значения:

• (​\( f(0) = 1 \)​)
• (​\( f(1) = 0 \)​)

Так как у нас всего две критические точки и они являются концами интервала, то на этом интервале нет других точек, где функция может достигнуть экстремума. Таким образом, максимальное значение функции (​\( f(x) \)​) на интервале ([0, 1]) равно 1 (в точке (x = 0)), а минимальное значение равно 0 (в точке (x = 1)).