5 Просмотров

Задание:

Найти все значения параметра а, при которых квадратное уравнение (a+2)x^2-ax-a=0 имеет два корня, расположенных на числовой прямой симметрично относительно точки x=1.

Ответ на задание:

Для того чтобы уравнение имело два корня, расположенных симметрично относительно точки ( x = 1 ), корни должны быть равноудалены от ( x = 1 ).

Обозначим корни уравнения как ( ​\( x_1 \)​ ) и ( ​\( x_2 \)​ ). Тогда, если они симметричны относительно ( x = 1 ), выполняется условие:

\[ x_1 – 1 = 1 – x_2 \]

Теперь рассмотрим само уравнение ( ​\( (a+2)x^2 – ax – a = 0 \)​ ) и найдем его корни.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: ( ​\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)​ ).

Здесь ( a = a + 2 ), ( b = -a ), и ( c = -a ).

Рассчитаем дискриминант:

\[ D = b^2 – 4ac = (-a)^2 – 4(a+2)(-a) = a^2 + 4a(a+2) = a^2 + 4a^2 + 8a = 5a^2 + 8a \]

Теперь найдем корни уравнения при помощи формулы:

\[ x_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{5a^2 + 8a}}{2(a+2)} \]

Таким образом, условие симметричности корней относительно ( x = 1 ) можно записать как:

\[ \frac{a + \sqrt{5a^2 + 8a}}{2(a+2)} – 1 = 1 – \frac{a – \sqrt{5a^2 + 8a}}{2(a+2)} \]

Упростим это уравнение:

\[ \frac{a + \sqrt{5a^2 + 8a} – 2(a+2)}{2(a+2)} = \frac{2(a+2) – (a – \sqrt{5a^2 + 8a})}{2(a+2)} \]

\[ \frac{a + \sqrt{5a^2 + 8a} – 2a – 4 – 2}{2(a+2)} = \frac{2a + 4 – a + \sqrt{5a^2 + 8a}}{2(a+2)} \]

\[ \frac{\sqrt{5a^2 + 8a} – 2a – 6}{2(a+2)} = \frac{a + \sqrt{5a^2 + 8a}}{2(a+2)} \]

Умножим обе части уравнения на ( ​\( 2(a+2) \)​ ) для избавления от знаменателя:

\[ \sqrt{5a^2 + 8a} – 2a – 6 = a + \sqrt{5a^2 + 8a} \]

\[ -2a – 6 = a \]

\[ -3a = 6 \]

\[ a = -2 \]

Таким образом, уравнение имеет два корня, симметричных относительно ( x = 1 ), только при ( a = -2 ).