7 Просмотров

Задание:

Найдите угол наклона касательной к графику функции F(X)=3-4/x в точке с абсциссой Х(0)=2

Ответ на задание:

• Нам дана функция: F(x) = 3 – 4/x.
• Требуется найти угол наклона касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x = 2.

Решение:

1. Найдем значение функции в точке x = 2:

   • ​\( F(2) = 3 – 4/2 = 1 \)​.
   • Таким образом, точка касания имеет координаты (2, 1).

2. Найдем производную функции:

   • Производная функции F'(x) показывает нам угловой коэффициент касательной в любой точке графика.
   • ​\( F'(x) = 0 – (-4/x^2) = 4/x^2 \)​.

3. Найдем угловой коэффициент касательной в точке x = 2:

   • ​\( F'(2) = 4/2^2 = 1 \)​.
   • Угловой коэффициент касательной равен 1.

4. Найдем угол наклона касательной:

   • Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона.
   • tg(α) = 1, где α – угол наклона касательной.
   • Отсюда, α = arctg(1) = 45°.

Ответ: Угол наклона касательной к графику функции F(x) = 3 – 4/x в точке с абсциссой x = 2 равен 45°.

Геометрический смысл:

• Касательная к графику функции в данной точке представляет собой прямую линию, которая “прижимается” к графику функции в этой точке максимально плотно.
• Угол наклона этой касательной показывает, как быстро меняется значение функции в этой точке. В нашем случае, функция возрастает под углом 45 градусов в точке x = 2.