17 Просмотров

Задание:

Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями равен 30°

Ответ на задание:

Для нахождения площади прямоугольника с известной диагональю и углом между диагоналями можно воспользоваться следующими формулами:

1. Площадь прямоугольника (​\( S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \)​), где (​\( d_1 \)​) и (​\( d_2 \)​) – длины диагоналей.

2. Связь длин диагоналей и угла между ними: (​\( d_1^2 + d_2^2 – 2 \times d_1 \times d_2 \times \cos(\theta) = a^2 + b^2 \)​), где (a) и (b) – стороны прямоугольника.

В данном случае угол (​\( \theta = 30^\circ \)​), а диагональ (d) равна 10 см. Подставим эти значения в формулы:

1. (​\( d_1 = d \)​)
2. Используем тригонометрическую формулу для косинуса: (​\( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)​)

Теперь можем найти длину второй диагонали и, следовательно, стороны прямоугольника:

\[ d_2 = \frac{d}{\cos(\theta)} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Теперь, используя формулу для площади прямоугольника, найдем площадь:

\[ S = \frac{1}{2} \times d \times d_2 \]

\[ d_2 = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \]

Теперь мы можем найти площадь прямоугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \times d \times d_2 = \frac{1}{2} \times 10 \times \frac{20\sqrt{3}}{3} = \frac{100\sqrt{3}}{3} \approx 57.74 , \text{см}^2 \]

Итак, площадь прямоугольника составляет приблизительно (​\( 57.74 , \text{см}^2 \)​).