14 Просмотров

Задание:

Найдите неопределенный интеграл методом интегрирования по частям: ​\( \int (x^2 + 2x) \cos(2x) , dx \)

Ответ на задание:

Для вычисления неопределенного интеграла (​\( \int (x^2 + 2x) \cos(2x) , dx \)​) методом интегрирования по частям, мы используем формулу интегрирования по частям:

\[ \int u , dv = uv – \int v , du \]

Выберем компоненты для (​\( u \)​) и (​\( dv \)​):

\[ u = x^2 + 2x \]

\[ dv = \cos(2x) , dx \]

Теперь вычислим их дифференциалы:

\[ du = (2x + 2) , dx \]

\[ v = \frac{1}{2} \sin(2x) \]

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

\[ \int (x^2 + 2x) \cos(2x) , dx = uv – \int v , du \]

\[ = (x^2 + 2x) \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) – \int \frac{1}{2} \sin(2x) \cdot (2x + 2) , dx \]

Упростим выражение:

\[ = \frac{1}{2}(x^2 + 2x) \sin(2x) – \int (\sin(2x) \cdot (x + 1)) , dx \]

Теперь вычислим оставшийся интеграл:

\[ = \frac{1}{2}(x^2 + 2x) \sin(2x) + \int (x + 1) \sin(2x) , dx \]

Продолжим вычисление оставшегося интеграла:

Имеем:

\[ \int (x + 1) \sin(2x) , dx \]

Выберем компоненты для интегрирования по частям:

\[ u = x + 1 \]

\[ dv = \sin(2x) , dx \]

Теперь вычислим их дифференциалы:

\[ du = dx \]

\[ v = -\frac{1}{2} \cos(2x) \]

Применяем формулу интегрирования по частям:

\[ \int (x + 1) \sin(2x) , dx = uv – \int v , du \]

\[ = (x + 1) \cdot \left(-\frac{1}{2} \cos(2x)\right) – \int \left(-\frac{1}{2} \cos(2x)\right) , dx \]

\[ = -(x + 1) \cdot \frac{1}{2} \cos(2x) + \frac{1}{2} \int \cos(2x) , dx \]

\[ = -\frac{1}{2}(x + 1) \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \]

Где (C) – постоянная интегрирования.

Итак, итоговый неопределенный интеграл:

\[ \int (x^2 + 2x) \cos(2x) , dx = \frac{1}{2}(x^2 + 2x) \sin(2x) – \frac{1}{2}(x + 1) \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \]