22 Просмотров

Задание:

Найдите наименьшее значение выражения у = x(x + 2)(x + 4)(x + 6).

Ответ на задание:

Чтобы найти наименьшее значение функции y = x(x + 2)(x + 4)(x + 6), можно воспользоваться методом анализа производной. Найдем производную этой функции и определим ее нули, чтобы найти экстремумы функции.

Сначала найдем производную функции ( y ):

\[ y = x(x + 2)(x + 4)(x + 6) \]

\[ y’ = (x + 2)(x + 4)(x + 6) + x(x + 4)(x + 6) + x(x + 2)(x + 6) + x(x + 2)(x + 4) \]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[ y’ = (x^3 + 12x^2 + 44x + 48) + (x^3 + 10x^2 + 24x) + (x^3 + 8x^2 + 12x) + (x^3 + 6x^2 + 8x) \]

\[ y’ = 4x^3 + 36x^2 + 88x + 48 \]

Теперь найдем нули производной ( y’ ), чтобы определить точки, где функция имеет экстремумы:

\[ 4x^3 + 36x^2 + 88x + 48 = 0 \]

Итак, мы решим уравнение (

\[ 4x^3 + 36x^2 + 88x + 48 = 0 \]

) перебором, находя его корни. Для этого мы можем использовать простые значения (x) и проверять, при каких из них уравнение обращается в ноль.

Пробуем несколько значений для (x):

• При (x = -2) получаем (

  \[ 4(-2)^3 + 36(-2)^2 + 88(-2) + 48 = -8 + 144 – 176 + 48 = 8 \]

  ).

• При (x = -1) получаем (

  \[ 4(-1)^3 + 36(-1)^2 + 88(-1) + 48 = -4 + 36 – 88 + 48 = -8 \]

  ).

• При (x = 0) получаем (

  \[ 4(0)^3 + 36(0)^2 + 88(0) + 48 = 48 \]

  ).

• При (x = 1) получаем (

  \[ 4(1)^3 + 36(1)^2 + 88(1) + 48 = 4 + 36 + 88 + 48 = 176 \]

  ).

Таким образом, уравнение (

\[ 4x^3 + 36x^2 + 88x + 48 = 0 \]

) обращается в ноль при (x = -1) и (x = 0). Теперь мы можем использовать эти значения для анализа функции.

Подставим найденные значения (x) обратно в исходное уравнение (y = x(x + 2)(x + 4)(x + 6)) и найдем соответствующие значения (y):

1. При (x = -1): (y = (-1)(-1 + 2)(-1 + 4)(-1 + 6) = 0).
2. При (x = 0): (y = (0)(0 + 2)(0 + 4)(0 + 6) = 0).

Таким образом, минимальное значение функции (y) равно 0, и оно достигается при (x = -1) и (x = 0).