Металлический шарик массой m =0,2 кг подвешен на вертикально расположенной пружине
25 Просмотров
Задание:
Металлический шарик массой m =0,2 кг подвешен на вертикально расположенной пружине. При этом длина пружины увеличилась на величину Dl =0,2 м. Под действием гармонической вынуждающей силы с амплитудой F 0 =0,2 Н шарик начинает совершать вынужденные колебания. Пренебрегая массой пружины, определить циклическую частоту вынуждающей силы Ω, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна, а также значение этой амплитуды, если известно, что коэффициент затухания β =1 рад/с.
Ответ на задание:
Для системы с вынужденными колебаниями, циклическая частота вынуждающей силы определяется по формуле:
\[ \Omega = \sqrt{\omega_0^2 – \beta^2} \]
где (\( \omega_0 \)) – циклическая частота свободных колебаний, а (\( \beta \)) – коэффициент затухания.
Циклическая частота свободных колебаний определяется по формуле:
\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \]
где (k) – коэффициент упругости пружины, а (m) – масса шарика.
Из условия увеличения длины пружины на величину (Dl) можно выразить коэффициент упругости:
\[ k = \frac{F_0}{Dl} \]
Теперь можно подставить значения и решить задачу. Начнем с определения (\( \omega_0 \)):
\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{F_0}{m \cdot Dl}} \]
Теперь подставим (\( \omega_0 \)) в формулу для (\( \Omega \)):
\[ \Omega = \sqrt{\omega_0^2 – \beta^2} = \sqrt{\frac{F_0}{m \cdot Dl} – \beta^2} \]
Подставим известные значения (\( F_0 = 0.2 , \text{Н} \)), (\( m = 0.2 , \text{кг} \)), (\( Dl = 0.2 , \text{м} \)), (\( \beta = 1 , \text{рад/с} \)):
\[ \Omega = \sqrt{\frac{0.2}{0.2 \cdot 0.2} – 1^2} = \sqrt{5 – 1} = \sqrt{4} = 2 , \text{рад/с} \]
Таким образом, циклическая частота вынуждающей силы (\( \Omega \)) равна (\( 2 , \text{рад/с} \)).
Амплитуда вынужденных колебаний определяется по формуле:
\[ A = \frac{F_0}{m \cdot \sqrt{(\omega_0^2 – \Omega^2)^2 + (2 \cdot \beta \cdot \Omega)^2}} \]
Подставим известные значения и решим:
\[ A = \frac{0.2}{0.2 \cdot \sqrt{(\frac{0.2}{0.2 \cdot 0.2} – 2^2)^2 + (2 \cdot 1 \cdot 2)^2}} = \frac{0.2}{\sqrt{(1 – 4)^2 + 4}} = \frac{0.2}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{0.2}{\sqrt{13}} \approx 0.056 , \text{м} \]
Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний составляет примерно (\( 0.056 , \text{м} \)).