Металлический шарик массой m =0,2 кг подвешен на вертикально расположенной пружине
44 Просмотров
Задание:
Металлический шарик массой m =0,2 кг подвешен на вертикально расположенной пружине. При этом длина пружины увеличилась на величину Dl =0,2 м. Под действием гармонической вынуждающей силы с амплитудой F 0 =0,2 Н шарик начинает совершать вынужденные колебания. Пренебрегая массой пружины, определить циклическую частоту вынуждающей силы Ω, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна, а также значение этой амплитуды, если известно, что коэффициент затухания β =1 рад/с.
Ответ на задание:
Для системы с вынужденными колебаниями, циклическая частота вынуждающей силы определяется по формуле:
\Omega = \sqrt{\omega_0^2 – \beta^2}
где ( \omega_0 ) – циклическая частота свободных колебаний, а ( \beta ) – коэффициент затухания.
Циклическая частота свободных колебаний определяется по формуле:
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
где (k) – коэффициент упругости пружины, а (m) – масса шарика.
Из условия увеличения длины пружины на величину (Dl) можно выразить коэффициент упругости:
k = \frac{F_0}{Dl}
Теперь можно подставить значения и решить задачу. Начнем с определения ( \omega_0 ):
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{F_0}{m \cdot Dl}}
Теперь подставим ( \omega_0 ) в формулу для ( \Omega ):
\Omega = \sqrt{\omega_0^2 – \beta^2} = \sqrt{\frac{F_0}{m \cdot Dl} – \beta^2}
Подставим известные значения ( F_0 = 0.2 , \text{Н} ), ( m = 0.2 , \text{кг} ), ( Dl = 0.2 , \text{м} ), ( \beta = 1 , \text{рад/с} ):
\Omega = \sqrt{\frac{0.2}{0.2 \cdot 0.2} – 1^2} = \sqrt{5 – 1} = \sqrt{4} = 2 , \text{рад/с}
Таким образом, циклическая частота вынуждающей силы ( \Omega ) равна ( 2 , \text{рад/с} ).
Амплитуда вынужденных колебаний определяется по формуле:
A = \frac{F_0}{m \cdot \sqrt{(\omega_0^2 – \Omega^2)^2 + (2 \cdot \beta \cdot \Omega)^2}}
Подставим известные значения и решим:
A = \frac{0.2}{0.2 \cdot \sqrt{(\frac{0.2}{0.2 \cdot 0.2} – 2^2)^2 + (2 \cdot 1 \cdot 2)^2}} = \frac{0.2}{\sqrt{(1 – 4)^2 + 4}} = \frac{0.2}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{0.2}{\sqrt{13}} \approx 0.056 , \text{м}
Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний составляет примерно ( 0.056 , \text{м} ).