42 Просмотров

Задание:

Металлический шарик массой m =0,2 кг подвешен на вертикально расположенной пружине. При этом длина пружины увеличилась на величину Dl =0,2 м. Под действием гармонической вынуждающей силы с амплитудой F 0 =0,2 Н шарик начинает совершать вынужденные колебания. Пренебрегая массой пружины, определить циклическую частоту вынуждающей силы Ω, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна, а также значение этой амплитуды, если известно, что коэффициент затухания β =1 рад/с.

Ответ на задание:

Для системы с вынужденными колебаниями, циклическая частота вынуждающей силы определяется по формуле:

\[ \Omega = \sqrt{\omega_0^2 – \beta^2} \]

где (​\( \omega_0 \)​) – циклическая частота свободных колебаний, а (​\( \beta \)​) – коэффициент затухания.

Циклическая частота свободных колебаний определяется по формуле:

\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \]

где (k) – коэффициент упругости пружины, а (m) – масса шарика.

Из условия увеличения длины пружины на величину (Dl) можно выразить коэффициент упругости:

\[ k = \frac{F_0}{Dl} \]

Теперь можно подставить значения и решить задачу. Начнем с определения (​\( \omega_0 \)​):

\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{F_0}{m \cdot Dl}} \]

Теперь подставим (​\( \omega_0 \)​) в формулу для (​\( \Omega \)​):

\[ \Omega = \sqrt{\omega_0^2 – \beta^2} = \sqrt{\frac{F_0}{m \cdot Dl} – \beta^2} \]

Подставим известные значения (​\( F_0 = 0.2 , \text{Н} \)​), (​\( m = 0.2 , \text{кг} \)​), (​\( Dl = 0.2 , \text{м} \)​), (​\( \beta = 1 , \text{рад/с} \)​):

\[ \Omega = \sqrt{\frac{0.2}{0.2 \cdot 0.2} – 1^2} = \sqrt{5 – 1} = \sqrt{4} = 2 , \text{рад/с} \]

Таким образом, циклическая частота вынуждающей силы (​\( \Omega \)​) равна (​\( 2 , \text{рад/с} \)​).

Амплитуда вынужденных колебаний определяется по формуле:

\[ A = \frac{F_0}{m \cdot \sqrt{(\omega_0^2 – \Omega^2)^2 + (2 \cdot \beta \cdot \Omega)^2}} \]

Подставим известные значения и решим:

\[ A = \frac{0.2}{0.2 \cdot \sqrt{(\frac{0.2}{0.2 \cdot 0.2} – 2^2)^2 + (2 \cdot 1 \cdot 2)^2}} = \frac{0.2}{\sqrt{(1 – 4)^2 + 4}} = \frac{0.2}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{0.2}{\sqrt{13}} \approx 0.056 , \text{м} \]

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний составляет примерно (​\( 0.056 , \text{м} \)​).