1 826 Просмотров

Задание:

Лесной клещ переносит заболевания П., опасное для собак. Известно, что среди собак, которых укусил клещ, заболевают только 3%. Если собаку укусил клещ, хозяевам рекомендуют сделать анализ крови, который показывает заболевания в 98% случаев. Найдите вероятность того, что анализ ошибочно покажет заболевание у здоровой собаки.

Ответ на задание:

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой условной вероятности. Обозначим:

• ( A ) – событие, что собаку укусил клещ.
• ( B ) – событие, что анализ крови показывает заболевание.

Мы знаем следующие вероятности:

• ( P(A) ) – вероятность того, что собаку укусил клещ, равна 3% или 0.03.
• ( P(B|A) ) – вероятность того, что анализ крови покажет заболевание при условии, что собаку укусил клещ, равна 98% или 0.98.

Требуется найти ( ​\( P(B|\overline{A}) \)​ ) – вероятность того, что анализ крови покажет заболевание у здоровой собаки.

Используем формулу условной вероятности:

\[ P(B|\overline{A}) = \frac{P(B \cap \overline{A})}{P(\overline{A})} \]

Где:

• ( ​\( P(\overline{A}) \)​ ) – вероятность того, что собаку не укусил клещ, равна ( ​\( 1 – P(A) \)​ ).
• ( ​\( P(B \cap \overline{A}) \)​ ) – вероятность того, что анализ крови покажет заболевание, и собаку не укусил клещ.

Вычислим:

\[ P(\overline{A}) = 1 – P(A) = 1 – 0.03 = 0.97 \]

Теперь, учитывая, что анализ может ошибочно показать заболевание у здоровой собаки, то есть в случае ( ​\( \overline{A} \)​ ), вероятность ( ​\( P(B|\overline{A}) \)​ ) равна вероятности того, что анализ крови ошибочно покажет заболевание:

\[ P(B|\overline{A}) = P(B \cap \overline{A}) = P(\overline{A}) \times P(B|\overline{A}) \]

\[ P(B|\overline{A}) = 0.97 \times ? \]

Теперь нам нужно найти ( ​\( P(B|\overline{A}) \)​ ). Для этого можем воспользоваться дополнением события ( B ), так как ( ​\( P(\overline{B}|\overline{A}) \)​ ) – вероятность того, что анализ крови покажет отсутствие заболевания у здоровой собаки:

\[ P(\overline{B}|\overline{A}) = 1 – P(B|\overline{A}) \]

Теперь можем выразить ( ​\( P(B|\overline{A}) \)​ ):

\[ P(B|\overline{A}) = 1 – P(\overline{B}|\overline{A}) \]

Таким образом, вероятность того, что анализ ошибочно покажет заболевание у здоровой собаки, равна:

\[ P(B|\overline{A}) = 1 – P(\overline{B}|\overline{A}) \]