8 Просмотров

Задание:

Как описать движение тела с учётом силы сопротивления воздуха, когда она пропорциональна квадрату скорости? То есть, F = k*v^2, также есть mg, и V = Vo + at. Как это все привести в одну зависимость V(t) (скорость от времени, чтобы потом можно было посчитать интеграл или просто найти скорость в данный момент времени)?

Ответ на задание:

Для описания движения тела с учетом силы сопротивления воздуха, которая пропорциональна квадрату скорости, можно воспользоваться уравнением второго закона Ньютона:

\[ F = ma \]

где ( F ) – сила, ( m ) – масса тела, а ( a ) – его ускорение. Сила сопротивления воздуха может быть выражена как:

\[ F_{\text{сопр}} = -k \cdot v^2 \]

где ( k ) – коэффициент сопротивления воздуха, ( v ) – скорость тела.

Сила тяжести определяется как (

\[ F_{\text{тяж}} = mg \]

), где ( g ) – ускорение свободного падения.

Уравнение движения вдоль оси ( x ) может быть записано как:

\[ F_{\text{сопр}} + F_{\text{тяж}} = ma \]

\[ -k \cdot v^2 + mg = ma \]

Используя уравнение скорости как (

\[ v = v_0 + at \]

), где (

\[ v_0 \]

) – начальная скорость, а ( a ) – ускорение, мы можем выразить ускорение ( a ) через производную скорости по времени:

\[ a = \frac{dv}{dt} \]

Подставив это в уравнение движения, получим:

\[ -k \cdot v^2 + mg = m \cdot \frac{dv}{dt} \]

Теперь это дифференциальное уравнение можно решить. Для удобства введем параметры:

\[ \alpha = \frac{k}{m} \]

\[ \beta = \frac{g}{v_0} \]

\[ \gamma = \frac{k}{v_0} \]

Уравнение примет вид:

\[ \frac{dv}{v^2 – \gamma v – \beta} = -\alpha , dt \]

После интегрирования получим:

\[ \frac{1}{\sqrt{\beta}} \arctan\left(\frac{v – \frac{\gamma}{2}}{\sqrt{\beta}}\right) = -\alpha t + C \]

где ( C ) – константа интегрирования. Решая это уравнение относительно ( v ), вы получите зависимость скорости от времени (

\[ v(t) \]

).

Давайте упростим его и решим относительно (v). Умножим обе стороны на (

\[ \sqrt{\beta} \]

):

\[ \arctan\left(\frac{v – \frac{\gamma}{2}}{\sqrt{\beta}}\right) = -\alpha \sqrt{\beta} t + C \sqrt{\beta} \]

Теперь применим тангенс от обеих сторон:

\[ \frac{v – \frac{\gamma}{2}}{\sqrt{\beta}} = \tan\left(-\alpha \sqrt{\beta} t + C \sqrt{\beta}\right) \]

Умножим обе стороны на (

\[ \sqrt{\beta} \]

) и добавим (

\[ \frac{\gamma}{2} \]

):

\[ v = \sqrt{\beta} \tan\left(-\alpha \sqrt{\beta} t + C \sqrt{\beta}\right) + \frac{\gamma}{2} \]

Таким образом, получаем зависимость скорости от времени (

\[ v(t) \]

). Однако, заметьте, что константа интегрирования (C) должна быть определена из начальных условий (например, начальной скорости при (t = 0)).