7 Просмотров

Задание:

Есть теорема про 3 медианы в треугольнике. Как доказать то, что медианы пересекаются в одной точке

Ответ на задание:

Доказательство пересечения медиан в треугольнике:

Дан треугольник ABC. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

1. Обозначения:

   • Пусть M, N и P – середины сторон BC, AC и AB соответственно.
   • Точка G – точка пересечения медиан треугольника ABC (центр тяжести).

2. Доказательство:

   • Рассмотрим стороны треугольника ABC: AB, AC и BC.
   • Пусть D – середина стороны AC, тогда AD – половина стороны AC.
   • Рассмотрим треугольники ABD и ACD.

3. Равенство отрезков:

   • AD – общая сторона для обоих треугольников.
   • BD = CD – по построению середины стороны AC.
   • Углы B и C равны, так как это углы при основании треугольника.
   • Таким образом, по стороне-углу-стороне (СУС) треугольники ABD и ACD равны.

4. Следствие:

   • Следовательно, BD = CD и AD – общая сторона.
   • По свойству середины отрезка, AM также является медианой треугольника ABC.

5. Аналогично для других медиан:

   • Применяя аналогичные рассуждения к медианам BN и CP, мы получаем, что они также проходят через точку G.

6. Заключение:

   • Таким образом, медианы треугольника ABC пересекаются в одной точке, которая называется центром тяжести (точкой G).