Допустим z = -√2/2+√2i/2, тогда чему равен модуль?

3 Просмотров

Задание:

Допустим z = -√2/2+√2i/2, тогда чему равен модуль? Если 0, то как найти тригонометрическую форму числа? Если также 0, то можно ли утверждать, что (-√2/2+√2i/2)+ i^7 = 0 + i^7 = i^7?

Ответ на задание:

По поводу модуля:

Вы совершенно правы, модуль комплексного числа z = -√2/2 + √2i/2 равен 1, а не 0.

Модуль комплексного числа определяется как расстояние от начала координат до точки, представляющей это число на комплексной плоскости. Формула для вычисления модуля:

|z| = √(a² + b²),

где a и b – действительная и мнимая части числа соответственно.

В нашем случае:

|z| = √((-√2/2)² + (√2/2)²) = √(1/2 + 1/2) = 1.

Тригонометрическая форма:

Поскольку модуль не равен нулю, мы можем представить число z в тригонометрической форме:

z = r * (cos(φ) + i * sin(φ)),

где:

r – модуль числа (у нас r = 1)
φ – аргумент числа (угол между положительной частью действительной оси и вектором, соединяющим начало координат с точкой z на комплексной плоскости)

Чтобы найти аргумент φ, можно использовать следующие соотношения:

cos(φ) = a/r = -√2/2 sin(φ) = b/r = √2/2

Из этих соотношений следует, что φ = 135° или φ = 3π/4 в радианах.

Таким образом, тригонометрическая форма числа z будет:

z = 1 * (cos(135°) + i * sin(135°)) = cos(135°) + i * sin(135°).

О равенстве (-√2/2+√2i/2)+ i^7 = 0 + i^7 = i^7:

Да, это утверждение верно.

Если к любому числу прибавить ноль, то значение числа не изменится. В данном случае, прибавив 0 к комплексному числу (-√2/2+√2i/2), мы получили то же самое число.

Следовательно, можно записать:

(-√2/2+√2i/2)+ i^7 = i^7

Вывод: