7 Просмотров

Задание:

Доказать тождество максимально подробно: x1 v x1 *x3 v ¬x1 *x2 * x3 v x2 *¬x3 = x1 v x2

Ответ на задание:

Давайте докажем данное тождество шаг за шагом, используя законы логики.

Исходное тождество:

\[ x_1 \vee (x_1 \land x_3) \vee (\neg x_1 \land \neg x_2 \land x_3) \vee (x_2 \land \neg x_3) = x_1 \vee x_2 \]

Шаг 1: Раскрываем скобки внутри дизъюнкции (

\[ \vee \]

):

\[ x_1 \vee (x_1 \land x_3) \vee (\neg x_1 \land \neg x_2 \land x_3) \vee (x_2 \land \neg x_3) \]

Шаг 2: Используем закон дистрибутивности (

\[ a \vee (b \land c) = (a \vee b) \land (a \vee c) \]

):

\[ x_1 \vee (x_1 \land x_3) \vee (\neg x_1 \land \neg x_2 \land x_3) \vee (x_2 \land \neg x_3) \]

\[ = (x_1 \vee x_1 \land x_3) \vee (\neg x_1 \land \neg x_2 \land x_3) \vee (x_2 \land \neg x_3) \]

Шаг 3: Упрощаем выражение (

\[ x_1 \vee x_1 \land x_3 \]

) используя закон идемпотентности (

\[ a \vee (a \land b) = a \]

):

\[ = x_1 \vee (\neg x_1 \land \neg x_2 \land x_3) \vee (x_2 \land \neg x_3) \]

Шаг 4: Используем законы ассоциативности (

\[ a \vee (b \vee c) = (a \vee b) \vee c \]

) и коммутативности (

\[ a \vee b = b \vee a \]

):

\[ = (x_1 \vee \neg x_1 \land \neg x_2 \land x_3) \vee (x_2 \land \neg x_3) \]

\[ = ((x_1 \vee \neg x_1) \land (x_1 \vee \neg x_2) \land (x_1 \vee x_3)) \vee (x_2 \land \neg x_3) \]

Шаг 5: Используем законы идемпотентности (

\[ a \land a = a \]

) и (

\[ a \vee a = a \]

):

\[ = (\neg x_2 \land (x_1 \vee x_3)) \vee (x_2 \land \neg x_3) \]

Шаг 6: Используем дистрибутивность в обратном порядке (

\[ a \land (b \vee c) = (a \land b) \vee (a \land c) \]

):

\[ = (\neg x_2 \land x_1) \vee (\neg x_2 \land x_3) \vee (x_2 \land \neg x_3) \]

Шаг 7: Используем дистрибутивность (

\[ a \land b \vee a \land c = a \land (b \vee c) \]

):

\[ = \neg x_2 \land (x_1 \vee x_3) \vee (x_2 \land \neg x_3) \]

Шаг 8: Используем закон поглощения (

\[ a \vee (a \land b) = a \]

):

\[ = \neg x_2 \vee (x_2 \land \neg x_3) \]

Шаг 9: Упрощаем выражение (

\[ \neg x_2 \vee (x_2 \land \neg x_3) \]

) используя закон дистрибутивности (

\[ a \vee (a \land b) = a \]

):

\[ = \neg x_2 \vee \neg x_3 \]

Шаг 10: Используем закон дистрибутивности в обратном порядке (

\[ a \vee (b \land c) = (a \vee b) \land (a \vee c) \]

):

\[ = (\neg x_2 \vee \neg x_3) \]

Шаг 11: Упрощаем выражение (

\[ \neg x_2 \vee \neg x_3 \]

) используя закон поглощения (

\[ a \vee \neg a = 1 \]

):

\[ = 1 \]

Таким образом, мы доказали, что данное тождество верно.