4 Просмотров

Задание:

Доказательство формулы комбинаторики для четного натурального n

Cₙⁿ – Cₙ¹ + Cₙ² – Cₙ³ + … + (-1)ⁿ * Cₙⁿ = 0

 

Ответ на задание:

Нам необходимо доказать следующее равенство:

Cₙⁿ – Cₙ¹ + Cₙ² – Cₙ³ + … + (-1)ⁿ * Cₙⁿ = 0

где Cₙᵏ – число сочетаний из n элементов по k.

Подход к решению

Для доказательства этого утверждения воспользуемся биномом Ньютона и некоторыми свойствами биномиальных коэффициентов.

Бином Ньютона

Напомним, что бином Ньютона для неотрицательного целого числа n имеет вид:

(a + b)ⁿ = Cₙ₀ * aⁿ * b⁰ + Cₙ₁ * aⁿ⁻¹ * b¹ + … + Cₙₙ * a⁰ * bⁿ

Применение бинома Ньютона к нашей задаче

Подставим в бином Ньютона a = 1 и b = -1:

(1 – 1)ⁿ = Cₙ₀ * 1ⁿ * (-1)⁰ + Cₙ₁ * 1ⁿ⁻¹ * (-1)¹ + … + Cₙₙ * 1⁰ * (-1)ⁿ

Левая часть уравнения равна нулю, так как (1 – 1)ⁿ = 0ⁿ = 0.

Правая часть уравнения совпадает с нашей исходной суммой с чередующимися знаками:

Cₙ₀ – Cₙ¹ + Cₙ² – Cₙ³ + … + (-1)ⁿ * Cₙⁿ = 0

Вывод

Таким образом, мы доказали, что сумма биномиальных коэффициентов с чередующимися знаками для четного натурального n равна нулю. Это непосредственно следует из бинома Ньютона при подстановке a = 1 и b = -1.

Геометрическая интерпретация:

Можно также дать геометрическую интерпретацию этому равенству. Представьте, что у вас есть множество из n элементов. Каждый член суммы соответствует подмножеству этого множества. Члены с положительным знаком соответствуют подмножествам с четным числом элементов, а с отрицательным знаком — с нечетным. Равенство говорит о том, что число подмножеств с четным числом элементов равно числу подмножеств с нечетным числом элементов.