83 Просмотров

Задание:

Докажите что средние линии четырехугольника и отрезок соединяющий середины его диагоналей пересекаются в одной точке

Ответ на задание:

Для доказательства этого утверждения рассмотрим произвольный четырехугольник ABCD. Обозначим середины его сторон как E, F, G и H (середины AB, BC, CD и DA соответственно), а середины его диагоналей как I и J (середины AC и BD соответственно).

Теперь мы знаем, что отрезок, соединяющий середины двух точек, делит его пополам. Таким образом, можно сказать, что:

1. (EI = IF) (по определению середины отрезка AB),
2. (FJ = GJ) (по определению середины отрезка BC),
3. (GH = HI) (по определению середины отрезка CD),
4. (HE = EJ) (по определению середины отрезка DA).

Теперь докажем, что эти точки (E, F, G, H, I, J) лежат на одной прямой. Рассмотрим треугольники AEF и CDH:

• В треугольнике AEF: (EI = IF) и (HE = EJ).
• В треугольнике CDH: (GH = HI) и (FJ = GJ).

Исходя из этих равенств, по принципу равных частей равные отрезки, следовательно, можно утверждать, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, равны между собой.

Таким образом, по два равных отрезка находятся на концах диагоналей AC и BD: (EI = FJ) и (GJ = HI).

Теперь рассмотрим треугольник EFI и треугольник GHJ. По трем сторонам они равны между собой (по построению), что означает, что углы EFG и GHI также равны.

Таким образом, по критерию равных треугольников можно сказать, что прямые EG и FH, проходящие через середины противоположных сторон четырехугольника, пересекаются в одной точке, обозначим её как K.

Таким образом, мы доказали, что средние линии четырехугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке K.