8 Просмотров

Задание:

Длина стороны ромба равна 4 см. Вычислите радиус окружности, вписанной в ромб, если его диагонали относятся как 1 : √3.

 

Ответ на задание:

Дан ромб со стороной a = 4 см. Диагонали ромба относятся как 1:√3. Требуется найти радиус r вписанной окружности.

Решение

1. Найдем длины диагоналей:

   • Пусть одна диагональ равна x, тогда другая будет равна √3x.
   • По свойствам ромба диагонали пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.
   • Получили прямоугольный треугольник с катетами x/2 и √3x/2 и гипотенузой a = 4 см.
   • По теореме Пифагора:
     • (x/2)² + (√3x/2)² = 4²
     • x² = 16
     • x = 4
   • Следовательно, диагонали равны 4 см и 4√3 см.

2. Найдем площадь ромба:

   • Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:
     • S = (4 * 4√3) / 2 = 8√3 см²

3. Найдем радиус вписанной окружности:

   • Площадь ромба также можно выразить через радиус вписанной окружности и периметр:
     • S = Pr/2
     • 8√3 = (4*4) * r/2
     • r = 2√3 см

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 2√3 см.