Дана равнобедренная трапеция ABCD. Диагональ AC перпендикулярна боковой стороне AB. Угол между AC и большим основанием AD равен α, sin α = 1/3. AB = 2 см. Необходимо найти радиус окружности, описанной около трапеции.

Решение

1. Свойства равнобедренной трапеции:
* Боковые стороны равны (AB = CD).
* Углы при основании равны (∠BAD = ∠CDA).
* Диагонали равны (AC = BD).

2. Прямоугольный треугольник ABC:
* По условию AC ⊥ AB, следовательно, треугольник ABC прямоугольный.
* Из синуса угла α найдем косинус: cos α = √(1 – sin²α) = √(1 – 1/9) = 2√2/3.
* По определению синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике:
* BC/AC = sin α, откуда BC = AC * sin α.
* AB/AC = cos α, откуда AC = AB / cos α.

3. Окружность, описанная около трапеции:
* Вписанный угол BAD опирается на диаметр AC.
* Следовательно, AC является диаметром окружности, описанной около трапеции.
* Радиус окружности равен половине диаметра: R = AC/2.

Вычисления:
* AC = AB / cos α = 2 / (2√2/3) = 3/√2.
* R = AC/2 = (3/√2) / 2 = 3/(2√2) = (3√2)/4 см.

Ответ: Радиус окружности, описанной около трапеции, равен (3√2)/4 см.