2 367 Просмотров

Задание:

Дан треугольник ABC с углом B, равным 60°. В точках A и C провели две касательные к описанной окружности ABC, пересекающиеся в точке P. Перпендикуляр к BC, восстановленный в точке C, пересекает прямую AB в точке Q. Найдите ∠CQP, если ∠BAC = 40°.

 

Ответ на задание:

Нам дан треугольник ABC с известными углами: ∠B = 60° и ∠BAC = 40°. Проведены касательные к описанной окружности в точках A и C, пересекающиеся в точке P. Также проведен перпендикуляр CQ к стороне AB. Требуется найти угол ∠CQP.

Использование свойств касательных и вписанных углов

• Свойство касательных: Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду.
• Свойство вписанных углов: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Решение

1. Найдем угол ∠ACB:

   • Сумма углов треугольника равна 180°.
   • ∠ACB = 180° – ∠BAC – ∠ABC = 180° – 40° – 60° = 80°.

2. Рассмотрим четырехугольник APBC:

   • ∠APC = 360° – ∠PAB – ∠PBC – ∠ACB.
   • По свойству касательных ∠PAB = ∠CAB = 40° и ∠PBC = ∠ABC = 60°.
   • ∠APC = 360° – 40° – 60° – 80° = 180°.
   • Следовательно, четырехугольник APBC – вписанный.

3. Найдем угол ∠ACP:

   • По свойству вписанных углов ∠ACP = ∠ABP = 60°.

4. Рассмотрим треугольник CQP:

   • ∠CQP = 180° – ∠QCP – ∠PCQ.
   • ∠QCP = 90° (по условию CQ перпендикулярно AB).
   • ∠PCQ = ∠ACP = 60° (доказано ранее).
   • ∠CQP = 180° – 90° – 60° = 30°.

Ответ: ∠CQP = 30°.