968 Просмотров

Задание:

Вариант 1.

№1. Даны точки А( 1;2 ), М(-1;3), К( 4;-2), Р(5; 0).

Найдите расстояние между точками А и М, Р и К, М и К.

№2. Дан треугольник АВС, точки А( -2; 5), В( 4;-1 ), С(-2;3), точка М- середина АВ, точка К- середина АС,

Найдите:

а) координаты точек М и К;

б) длину медианы МС и КВ;

в) длину средней линии МК;

г) длины сторон треугольника АВС.

Ответ на задание:

Вариант 1:

№1.

1.1. Расстояние между точками А и М:

Используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

$$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$

$$d_{AM} = \sqrt{(-1 – 1)^2 + (3 – 2)^2}$$

$$d_{AM} = \sqrt{(-2)^2 + (1)^2}$$

$$d_{AM} = \sqrt{4 + 1}$$

$$d_{AM} = \sqrt{5}$$

1.2. Расстояние между точками Р и К:

$$d_{RK} = \sqrt{(4 – 5)^2 + ((-2) – 0)^2}$$

$$d_{RK} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2}$$

$$d_{RK} = \sqrt{1 + 4}$$

$$d_{RK} = \sqrt{5}$$

1.3. Расстояние между точками М и К:

$$d_{MK} = \sqrt{((-1) – 4)^2 + (3 – (-2))^2}$$

$$d_{MK} = \sqrt{(-5)^2 + (5)^2}$$

$$d_{MK} = \sqrt{25 + 25}$$

$$d_{MK} = \sqrt{50}$$

№2.

2.1. Координаты точек М и К:

$$M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$

$$K\left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)$$

$$M\left(\frac{(-2) + 4}{2}, \frac{5 + (-1)}{2}\right) = M(1, 2)$$

$$K\left(\frac{(-2) + (-2)}{2}, \frac{5 + 3}{2}\right) = K(-2, 4)$$

2.2. Длина медианы МС и КВ:

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Длина медианы равна половине длины соответствующей стороны.

$$|MC| = \frac{1}{2} |AC| = \frac{1}{2} \sqrt{(-2 – (-2))^2 + (3 – 5)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4 + 4} = \sqrt{2}$$

$$|KV| = \frac{1}{2} |AB| = \frac{1}{2} \sqrt{(4 – (-2))^2 + ((-1) – 5)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{36 + 36} = 3\sqrt{2}$$

2.3. Длина средней линии МК:

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

$$|MK| = \sqrt{(1 – (-2))^2 + (2 – 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}$$

2.4. Длины сторон треугольника АВС:

$$|AB| = \sqrt{(4 – (-2))^2 + ((-1) – 5)^2} = \sqrt{36 + 36} = 6\sqrt{2}$$

$$|BC| = \sqrt{((-2) – 4)^2 + (3 – (-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 4^2} = \sqrt{52}$$

$$|CA| = \sqrt{((-2) – (-2))^2 + (5 – 3)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$$