2 Просмотров

Задание:

Гипербола проходит через точки А (12;-6) и В (7;2). Написать ее каноническое уравнение.

Ответ на задание:

Для того чтобы найти каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки (A(12;-6)) и (B(7;2)), используем общий метод.

Уравнение гиперболы в канонической форме имеет вид:

\[ \frac{{(x – h)^2}}{{a^2}} – \frac{{(y – k)^2}}{{b^2}} = 1 \]

Где (h, k) – координаты центра гиперболы, (a) и (b) – длины полуосей.

Сначала найдем центр гиперболы, который является серединой отрезка между фокусами гиперболы. Фокусы гиперболы находятся на оси (x), поэтому их координаты будут (​\( h \pm c, k \)​), где (c) – расстояние от центра до фокуса, а (2c) – фокусное расстояние.

Фокусное расстояние (2c) равно модулю разницы (|AB|), где (|AB|) – расстояние между точками (A) и (B):

\[ |AB| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} \]

Имеем:

\[ |AB| = \sqrt{(7 – 12)^2 + (2 – (-6))^2} = \sqrt{(-5)^2 + (8)^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89} \]

Теперь найдем координаты центра гиперболы (C(h, k)) как середину между точками (A) и (B):

\[ h = \frac{{x_A + x_B}}{2} = \frac{{12 + 7}}{2} = \frac{{19}}{2} = 9.5 \]

\[ k = \frac{{y_A + y_B}}{2} = \frac{{-6 + 2}}{2} = \frac{{-4}}{2} = -2 \]

Теперь найдем полуоси (a) и (b):

\[ c = \frac{{\sqrt{89}}}{2} \]

Теперь, когда у нас есть все необходимые данные, мы можем записать каноническое уравнение гиперболы:

\[ \frac{{(x – 9.5)^2}}{{a^2}} – \frac{{(y + 2)^2}}{{b^2}} = 1 \]

где (​\( a^2 = c^2 + b^2 \)​).