9 Просмотров

Задание:

В упругой среде распространяются без затухания плоские волны от двух когерентных источников, колеблющихся в одинаковом направлении с частотой 10 с-1. Амплитуда колебания первого источника 4 см, начальная фаза –/ 2 , второго – 8 см и / 4 соответственно. Скорость распространения волн – 20 м/с. Определить результат интерференции волн (максимум или минимум результирующей волны будет наблюдаться) в точке, расположенной на расстоянии 50 и 25 см соответственно от первого и второго источников. Найти амплитуду результирующей волны в этой точке. Ответ: максимум, 12 см.

Ответ на задание:

Для определения результатов интерференции волн, используем принцип суперпозиции. Амплитуда результирующей волны в точке, находящейся на расстоянии ($x_1$) от первого источника и ($x_2$) от второго источника, может быть найдена по следующей формуле:

$$A_r = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos(\phi_2 – \phi_1)}$$

Где:

• ( $A_1$) и ( $A_2$ ) – амплитуды колебаний первого и второго источников соответственно.
• ( $\phi_1$ ) и ( $\phi_2$ ) – начальные фазы первого и второго источников соответственно.

Известно, что ($A_1 = 4 , \text{см}$), ($\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$), ($A_2 = 8 , \text{см}$), ($\phi_2 = \frac{\pi}{4}$).

Расстояния ($x_1$) и ($x_2$) равны 50 см и 25 см соответственно. Скорость распространения волн (

$v = 20 , \text{м/с}$), частота ($f = 10 , \text{Гц}$), значит, длина волны ($\lambda = \frac{v}{f}$).

Теперь вычислим фазовые разности для обоих источников:

$$\Delta \phi_1 = 2\pi \frac{x_1}{\lambda}$$

$$\Delta \phi_2 = 2\pi \frac{x_2}{\lambda}$$

Подставим все значения в формулу для ($A_r$) и найдем результат интерференции и амплитуду результирующей волны.

Длина волны ($\lambda = \frac{v}{f} = \frac{20 , \text{м/с}}{10 , \text{Гц}} = 2 , \text{м}$).

Теперь вычислим фазовые разности:

$$\Delta \phi_1 = 2\pi \frac{x_1}{\lambda} = 2\pi \frac{50 , \text{см}}{2 , \text{м}} = \pi , \text{рад}$$

$$\Delta \phi_2 = 2\pi \frac{x_2}{\lambda} = 2\pi \frac{25 , \text{см}}{2 , \text{м}} = \frac{\pi}{2} , \text{рад}$$

Теперь подставим значения в формулу для ($A_r$):

$$А_r = \sqrt{(0.04)^2 + (0.08)^2 + 2 \times 0.04 \times 0.08 \cos\left(\frac{\pi}{2} – (-\frac{\pi}{2})\right)}$$

$$A_r = \sqrt{0.0016 + 0.0064 + 2 \times 0.04 \times 0.08}$$

$$A_r = \sqrt{0.0016 + 0.0064 + 0.0064}$$

$$A_r = \sqrt{0.0144}$$

$$A_r \approx 0.12 , \text{м}$$

Таким образом, амплитуда результирующей волны в точке, находящейся на расстоянии 50 см от первого источника и 25 см от второго, составляет приблизительно 0.12 метра.

Давайте теперь определим результат интерференции, основываясь на фазовых разностях.

Фазовая разность ($\Delta \phi = \phi_2 – \phi_1$):

$$\Delta \phi = \frac{\pi}{4} – \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$$

Теперь рассмотрим аргумент косинуса в формуле ($A_r$):

$$2\pi \frac{x_2}{\lambda} – 2\pi \frac{x_1}{\lambda} = \frac{\pi}{2} – \pi = -\frac{\pi}{2}$$

Так как косинус отрицателен при аргументе (​$-\frac{\pi}{2}$​), мы ожидаем минимум интерференции в данной точке.

Итак, результат интерференции в точке, находящейся на расстоянии 50 см от первого источника и 25 см от второго, будет минимум.