В упругой среде распространяются без затухания плоские волны от двух когерентных источников
9 Просмотров
Задание:
В упругой среде распространяются без затухания плоские волны от двух когерентных источников, колеблющихся в одинаковом направлении с частотой 10 с-1. Амплитуда колебания первого источника 4 см, начальная фаза –/ 2 , второго – 8 см и / 4 соответственно. Скорость распространения волн – 20 м/с. Определить результат интерференции волн (максимум или минимум результирующей волны будет наблюдаться) в точке, расположенной на расстоянии 50 и 25 см соответственно от первого и второго источников. Найти амплитуду результирующей волны в этой точке. Ответ: максимум, 12 см.
Ответ на задание:
Для определения результатов интерференции волн, используем принцип суперпозиции. Амплитуда результирующей волны в точке, находящейся на расстоянии ( x_1 ) от первого источника и ( x_2 ) от второго источника, может быть найдена по следующей формуле:
A_r = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos(\phi_2 – \phi_1)}
Где:
- ( A_1 ) и ( A_2 ) – амплитуды колебаний первого и второго источников соответственно.
- ( \phi_1 ) и ( \phi_2 ) – начальные фазы первого и второго источников соответственно.
Известно, что ( A_1 = 4 , \text{см} ), ( \phi_1 = -\frac{\pi}{2} ), ( A_2 = 8 , \text{см} ), ( \phi_2 = \frac{\pi}{4} ).
Расстояния ( x_1 ) и ( x_2 ) равны 50 см и 25 см соответственно. Скорость распространения волн (
v = 20 , \text{м/с} ), частота ( f = 10 , \text{Гц} ), значит, длина волны ( \lambda = \frac{v}{f} ).
Теперь вычислим фазовые разности для обоих источников:
\Delta \phi_1 = 2\pi \frac{x_1}{\lambda}
\Delta \phi_2 = 2\pi \frac{x_2}{\lambda}
Подставим все значения в формулу для ( A_r ) и найдем результат интерференции и амплитуду результирующей волны.
Длина волны ( \lambda = \frac{v}{f} = \frac{20 , \text{м/с}}{10 , \text{Гц}} = 2 , \text{м} ).
Теперь вычислим фазовые разности:
\Delta \phi_1 = 2\pi \frac{x_1}{\lambda} = 2\pi \frac{50 , \text{см}}{2 , \text{м}} = \pi , \text{рад}
\Delta \phi_2 = 2\pi \frac{x_2}{\lambda} = 2\pi \frac{25 , \text{см}}{2 , \text{м}} = \frac{\pi}{2} , \text{рад}
Теперь подставим значения в формулу для ( A_r ):
А_r = \sqrt{(0.04)^2 + (0.08)^2 + 2 \times 0.04 \times 0.08 \cos\left(\frac{\pi}{2} – (-\frac{\pi}{2})\right)}
A_r = \sqrt{0.0016 + 0.0064 + 2 \times 0.04 \times 0.08}
A_r = \sqrt{0.0016 + 0.0064 + 0.0064}
A_r = \sqrt{0.0144}
A_r \approx 0.12 , \text{м}
Таким образом, амплитуда результирующей волны в точке, находящейся на расстоянии 50 см от первого источника и 25 см от второго, составляет приблизительно 0.12 метра.
Давайте теперь определим результат интерференции, основываясь на фазовых разностях.
Фазовая разность ( \Delta \phi = \phi_2 – \phi_1 ):
\Delta \phi = \frac{\pi}{4} – \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}
Теперь рассмотрим аргумент косинуса в формуле ( A_r ):
2\pi \frac{x_2}{\lambda} – 2\pi \frac{x_1}{\lambda} = \frac{\pi}{2} – \pi = -\frac{\pi}{2}
Так как косинус отрицателен при аргументе ( -\frac{\pi}{2} ), мы ожидаем минимум интерференции в данной точке.
Итак, результат интерференции в точке, находящейся на расстоянии 50 см от первого источника и 25 см от второго, будет минимум.