9 Просмотров

Задание:

В упругой среде распространяются без затухания плоские волны от двух когерентных источников, колеблющихся в одинаковом направлении с частотой 10 с-1. Амплитуда колебания первого источника 4 см, начальная фаза –/ 2 , второго – 8 см и / 4 соответственно. Скорость распространения волн – 20 м/с. Определить результат интерференции волн (максимум или минимум результирующей волны будет наблюдаться) в точке, расположенной на расстоянии 50 и 25 см соответственно от первого и второго источников. Найти амплитуду результирующей волны в этой точке. Ответ: максимум, 12 см.

Ответ на задание:

Для определения результатов интерференции волн, используем принцип суперпозиции. Амплитуда результирующей волны в точке, находящейся на расстоянии (\( x_1 \)) от первого источника и (\( x_2 \)) от второго источника, может быть найдена по следующей формуле:

\[ A_r = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos(\phi_2 – \phi_1)} \]

Где:

• ( \( A_1 \)) и ( \( A_2 \) ) – амплитуды колебаний первого и второго источников соответственно.
• ( \( \phi_1 \) ) и ( \( \phi_2 \) ) – начальные фазы первого и второго источников соответственно.

Известно, что (\( A_1 = 4 , \text{см} \)), (\( \phi_1 = -\frac{\pi}{2} \)), (\( A_2 = 8 , \text{см} \)), (\( \phi_2 = \frac{\pi}{4} \)).

Расстояния (\( x_1 \)) и (\( x_2 \)) равны 50 см и 25 см соответственно. Скорость распространения волн (

\( v = 20 , \text{м/с} \)), частота (\( f = 10 , \text{Гц} \)), значит, длина волны (\( \lambda = \frac{v}{f} \)).

Теперь вычислим фазовые разности для обоих источников:

\[ \Delta \phi_1 = 2\pi \frac{x_1}{\lambda} \]

\[ \Delta \phi_2 = 2\pi \frac{x_2}{\lambda} \]

Подставим все значения в формулу для (\( A_r \)) и найдем результат интерференции и амплитуду результирующей волны.

Длина волны (\( \lambda = \frac{v}{f} = \frac{20 , \text{м/с}}{10 , \text{Гц}} = 2 , \text{м} \)).

Теперь вычислим фазовые разности:

\[ \Delta \phi_1 = 2\pi \frac{x_1}{\lambda} = 2\pi \frac{50 , \text{см}}{2 , \text{м}} = \pi , \text{рад} \]

\[ \Delta \phi_2 = 2\pi \frac{x_2}{\lambda} = 2\pi \frac{25 , \text{см}}{2 , \text{м}} = \frac{\pi}{2} , \text{рад} \]

Теперь подставим значения в формулу для (\( A_r \)):

\[ А_r = \sqrt{(0.04)^2 + (0.08)^2 + 2 \times 0.04 \times 0.08 \cos\left(\frac{\pi}{2} – (-\frac{\pi}{2})\right)} \]

\[ A_r = \sqrt{0.0016 + 0.0064 + 2 \times 0.04 \times 0.08} \]

\[ A_r = \sqrt{0.0016 + 0.0064 + 0.0064} \]

\[ A_r = \sqrt{0.0144} \]

\[ A_r \approx 0.12 , \text{м} \]

Таким образом, амплитуда результирующей волны в точке, находящейся на расстоянии 50 см от первого источника и 25 см от второго, составляет приблизительно 0.12 метра.

Давайте теперь определим результат интерференции, основываясь на фазовых разностях.

Фазовая разность (\( \Delta \phi = \phi_2 – \phi_1 \)):

\[ \Delta \phi = \frac{\pi}{4} – \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{4} \]

Теперь рассмотрим аргумент косинуса в формуле (\( A_r \)):

\[ 2\pi \frac{x_2}{\lambda} – 2\pi \frac{x_1}{\lambda} = \frac{\pi}{2} – \pi = -\frac{\pi}{2} \]

Так как косинус отрицателен при аргументе (​\( -\frac{\pi}{2} \)​), мы ожидаем минимум интерференции в данной точке.

Итак, результат интерференции в точке, находящейся на расстоянии 50 см от первого источника и 25 см от второго, будет минимум.