3 Просмотров

Задание:

В треугольнике ABC проведена биссектриса CL. Известно, что CL=BC. На продолжении CL за точку L выбрана точка K так, что ∠CBK+∠CBL=180∘. Докажите, что CK=CA

 

Ответ на задание:

У нас есть треугольник ABC, в котором биссектриса CL равна стороне BC. Мы продлеваем биссектрису за точку L до точки K так, что углы CBK и CBL в сумме составляют 180 градусов. Нам нужно доказать, что отрезки CK и CA равны.

Анализ задачи и план решения

• Особые точки и линии: У нас есть биссектриса, равные отрезки и дополнительный угол. Это подсказывает, что мы можем использовать свойства биссектрисы, равенства треугольников и возможно, какие-то свойства углов.
• Цель: Доказать равенство отрезков CK и CA. Это значит, что нам нужно найти два треугольника, в которых эти отрезки являются соответствующими сторонами, и доказать, что эти треугольники равны.

 

План решения:

1. Рассмотреть треугольники CLB и CKB. По условию, углы CBL и CBK составляют в сумме 180 градусов, а сторона CL общая. Это уже дает нам некоторые основания для равенства этих треугольников.
2. Доказать равенство треугольников CLB и CKB. Если мы сможем доказать, что еще одна пара углов или сторон в этих треугольниках равна, то по одному из признаков равенства треугольников мы сможем утверждать, что треугольники CLB и CKB равны.
3. Из равенства треугольников CLB и CKB сделать вывод о равенстве отрезков CK и CA. Поскольку CL – биссектриса, углы ACL и BCL равны. Из равенства треугольников CLB и CKB мы получим дополнительные равенства углов и сторон, которые позволят нам доказать равенство треугольников ACL и ACK. А из равенства этих треугольников следует равенство отрезков CK и CA.

 

Решение задачи

1. Рассмотрим треугольники CLB и CKB.

   • Угол CBL = углу CBK (по условию).
   • Сторона CL = стороне CL (общая сторона).
   • Угол BCL = углу BCK (так как CL – биссектриса угла ACB).
   • Следовательно, треугольники CLB и CKB равны по двум сторонам и углу между ними.

2. Из равенства треугольников CLB и CKB следует:

   • CK = CB (как соответствующие стороны равных треугольников).
   • Но по условию BC = CL.
   • Следовательно, CK = CL.

3. Рассмотрим треугольники ACL и ACK.

   • AC = AC (общая сторона).
   • CL = CK (доказано выше).
   • Угол ACL = углу ACK (так как CL – биссектриса угла ACB).
   • Следовательно, треугольники ACL и ACK равны по трем сторонам.

4. Из равенства треугольников ACL и ACK следует:

   • CK = CA (как соответствующие стороны равных треугольников).

 

Таким образом, мы доказали, что CK = CA.

Вывод: Используя свойства биссектрисы, равенство треугольников и логические рассуждения, мы пришли к требуемому результату: отрезки CK и CA равны.