В трапеции ABCD, в которую можно вписать окружность, проведена диагональ AC

6 Просмотров

Задание:

В трапеции ABCD, в которую можно вписать окружность, проведена диагональ AC. В каждом из треугольников ADC И ACB выписаны окружности. Найдите расстояние между точками касания окружностей и диагональю АС.

Ответ на задание:

Обозначим точки касания окружностей, вписанных в треугольники ADC и ACB с диагональю AC, как E и F соответственно.

1. Свойства вписанных окружностей:

Центры вписанных окружностей ( $I_{1}$ и $I_{2}$ ) лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольников, к которым они приписаны.
Пусть $r_{1}$ и $r_{2}$ – радиусы вписанных окружностей в треугольники ADC и ACB соответственно.
Согласно свойствам вписанных окружностей, имеем:
- $E I_{1} = r_{1}$
- $F I_{2} = r_{2}$

2. Симметрия:

Точка пересечения диагонали AC и средней линии трапеции ABCD является центром симметрии трапеции.
Обозначим эту точку как O.
Так как I1 и I2 лежат на серединных перпендикулярах к сторонам AD и BC, они симметричны относительно точки O.
Следовательно, треугольники $OE I_{1}$ и $OF I_{2}$ симметричны относительно стороны AC.

3. Расстояние между точками E и F:

Расстояние между точками E и F равно сумме длин $E I_{1}$ и $F I_{2}$ .
Из симметрии треугольников $OE I_{1}$ и $OF I_{2}$ относительно AC следует, что $E I_{1} = F I_{2}$ .
Таким образом, расстояние между точками E и F равно:
- $E I_{1} + F I_{2} = 2 r_{1}$

4. Вывод:

Расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники ADC и ACB, с диагональю AC равно удвоенному радиусу вписанной окружности в треугольник ADC.

(Пока оценок нет)

Загрузка...