6 Просмотров

Задание:

В трапеции сумма углов при одном из оснований равна 90°. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований, если длина отрезка, соединяющего середины диагоналей, равна 2

Ответ на задание:

Пусть ABCD – трапеция, где AB и CD – основания, а AD и BC – боковые стороны. Пусть M и N – середины соответственно AC и BD. Также, пусть P – точка пересечения диагоналей AC и BD.

Так как сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то углы B и C смежные и дополнительные (дополняющие друг друга). Также, углы MPA и MPB равны, так как это вертикальные углы.

​\( \angle B = \angle C \)​ ​\( \angle MPB = \angle MPA \)​

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол P равен 180° минус углы B и C.

\[ \angle P = 180° – \angle B – \angle C \]

Теперь у нас есть равенство:

\[ \angle MPB + \angle P + \angle MPA = 180° \]

Подставим значения:

\[ \angle MPA + \angle MPA + 180° – \angle B – \angle C = 180° \]

Упростим:

\[ 2 \angle MPA = \angle B + \angle C \]

Так как углы B и C дополняющие, и углы MPA и MPB равны:

\[ 2 \angle MPA = 180° – \angle MPA \]

Решим уравнение:

\[ 3 \angle MPA = 180° \]

\[ \angle MPA = 60° \]

Теперь, используя свойство треугольника, мы знаем, что угол P равен 120° (180° – 60°).

Так как углы PMA и PMB равны (вертикальные углы), у нас есть прямоугольный треугольник PMN, где угол P равен 120°.

Теперь, если длина отрезка, соединяющего середины диагоналей, равна 2, то мы можем использовать тригонометрический тангенс угла P в прямоугольном треугольнике PMN:

\[ \tan(P) = \frac{MN}{\frac{1}{2}BD} \]

Подставим известные значения:

\[ \tan(120°) = \frac{MN}{\frac{1}{2}BD} \]

\[ -\sqrt{3} = \frac{MN}{\frac{1}{2}BD} \]

Теперь найдем длину отрезка MN:

\[ MN = -\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}BD \]

Таким образом, длина отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, равна ( ​\( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)​) умножить на длину основания BD.