В сосуде объемом 3 л находится 2 г водорода под давлением 0,83 МПа

19 Просмотров

Задание:

В сосуде объемом 3 л находится 2 г водорода под давлением 0,83 МПа. Найти, сколько молекул водорода при этих условиях обладают скоростями в интервале от 1900 м/с до 1905 м/c.

Ответ на задание:

Для решения этой задачи, нам нужно использовать распределение Максвелла-Больцмана для скоростей молекул газа. Это распределение описывает вероятность того, что молекула газа имеет определенную скорость при заданной температуре.

Формула распределения Максвелла-Больцмана для вероятности того, что молекула имеет скорость v, выглядит следующим образом:

\[ f(v) = 4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2e^{-\frac{mv^2}{2kT}} \]

где:

(f(v)) – вероятность того, что молекула имеет скорость v,
(m) – масса молекулы,
(k) – постоянная Больцмана (
\[ k \approx 1.38 \times 10^{-23} , \text{Дж/К} \]

),
(T) – абсолютная температура в Кельвинах.

Сначала найдем массу одной молекулы водорода. Молярная масса водорода (H₂) равна приближенно 2 г/моль. Одна моль вещества содержит примерно (

\[ 6.022 \times 10^{23} \]

) молекул (число Авогадро). Следовательно, масса одной молекулы водорода:

\[ m = \frac{\text{Молярная масса}}{\text{Число Авогадро}} = \frac{2 , \text{г/моль}}{6.022 \times 10^{23} , \text{молекул/моль}} \]

Теперь выразим (T) из уравнения состояния идеального газа:

\[ PV = nRT \]

где:

(P) – давление в Паскалях,
(V) – объем в м³,
(n) – количество молей газа,
(R) – универсальная газовая постоянная (
\[ R \approx 8.31 , \text{Дж/(моль·К)} \]

).

Мы можем выразить (n) следующим образом:

\[ n = \frac{m}{\text{Молярная масса}} \]

Теперь мы можем переписать уравнение состояния идеального газа:

\[ PV = \frac{m}{\text{Молярная масса}}RT \]

Изолируем (T):

\[ T = \frac{PV\text{Молярная масса}}{mR} \]

Теперь мы можем подставить значения:

\[ T = \frac{(0.83 , \text{МПа} \cdot 3 , \text{л} \cdot 10^3 , \text{м³/л}) \cdot (2 , \text{г}/\text{моль})}{\frac{2 , \text{г}}{6.022 \times 10^{23} , \text{молекул}} \cdot 8.31 , \text{Дж/(моль·К)}} \]

Рассчитаем значение температуры (T).

Теперь мы можем использовать распределение Максвелла-Больцмана для определения количества молекул водорода с заданными скоростями в интервале от 1900 м/с до 1905 м/с. Мы будем интегрировать это распределение в пределах этого интервала скоростей:

\[ N = \int_{1900 , \text{м/с}}^{1905 , \text{м/с}} f(v) , dv \]

Проведем численное интегрирование в Python воспользовавшись библиотекой SciPy для выполнения численного интегрирования.

Вот пример кода на Python, который использует SciPy:

from scipy import integrate

import numpy as np

# Заданные параметры

v_lower = 1900  # м/с

v_upper = 1905 # м/с

# Функция распределения Максвелла-Больцмана

def maxwell_boltzmann_distribution(v):

    m = 2 / (6.022e23)  # масса одной молекулы водорода в килограммах

    k = 1.38e-23 # постоянная Больцмана в Дж/К

T = 273 + 25  # температура в Кельвинах (примерно 25 градусов Цельсия)



return 4 * np.pi * (m / (2 * np.pi * k * T)) ** (3 / 2) * v ** 2 * np.exp(-m * v ** 2 / (2 * k * T))

# Вычисление интеграла

result, error = integrate.quad(maxwell_boltzmann_distribution, v_lower, v_upper)

# Вывод результата

print(f"Количество молекул в интервале от {v_lower} м/с до {v_upper} м/с: {result}")

Обратите внимание, что в приведенном примере использована примерная температура 25 градусов Цельсия. Вы можете изменить значение температуры в коде в соответствии с вашими условиями.

(Пока оценок нет)

Загрузка...